一、知识总结
1张量概念
11指标记法
哑标和自由指标的定义及性质
自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。
性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在
同项内重复出现两次。
哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量
指标）中各出现且仅出现一次的指标。
性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个
方程缩写成一个方程。
例：
A11x1A12x2A13x3B1A21x1A22x2A23x3B2A31x1A32x2A33x3B3
式11可简单的表示为下式：
11
AijxjBi
12
其中：i为自由指标，j为哑标。特别区分，自由指标在同一
项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j则在
同项中可出现两次，表示遍历求和。在表达式或者方程中自由指
标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。
12Kro
ecker符号
定义ij为：
fij

10
ijij
13
ij的矩阵形式为：
100ij010
001
14
可知ijijiijj3。δ符号的两指标中有一个与同项中其它
因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，
而δ符号消失。如：
ijjkikijjkklil
ij的作用：更换指标、选择求和。
13Ricci符号
15
为了运算的方便，定义Ricci符号或称置换符号：
1
lijk1

0
ijk为偶排列ijk为奇排列
其余情况
16
图11ijk排列图lijk的值中，有3个为1，3个为1，其余为0。Ricci符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。
14坐标转换
f图12坐标转换
如上图所示，设旧坐标系的基矢为ei，新坐标系的基矢为ei。有eiejeiejij
ei在ei下进行分解：eii1e1i2e2i3e3ijejej在ei下进行分解：ej1je12je23je3ijei其中，ijcoseiejeiejejei为新旧坐标轴间的夹角余弦，称为坐标转换系数。空间点P在新老坐标系矢径：
rr
xieixjej
rrr0
17
其中r0为上图中坐标原点的位移矢量。
将r向新坐标轴上投影的矢量的分量：
reixkekeixkkixi
即r0
rei

xk0ek
ei

xjej
ei

xk0ki

xjij


x
i

0

xjij
由此得新坐标用老坐标表示的公式：
xixi0xjij
18
类似地，将i向老坐标上投影，可以推导出老坐标用新坐标表
示的公式：
xjxj0xiij
19
特别的，当新旧坐标原点重合时，也即坐标轴仅发生旋转，
f此时xi00，上两式的矩阵形式为：
xxxTx1x
110
由上可知，TI，是正交矩阵，则ij1。综合以
上可知：
eiejeiej
eillij
jkek

iljklk

ik

r