本科生毕业论文
费马定理
费马定理
费马原理是光学中最为基础的原理，它在物理学发展的历程中有着至关重要的作用。它用一种新的看法将几何光学的三个基本实验定律（光的反射定律和折射定律、光的独立传播定律光的直线传播定律直线传播）进行统一，并表述了三者的联系。通过研究几何光学问题，能彰显出费马定理的重要性，能更加系统化光学理论。可见通过费马原理推导上述三个基本实验定律，能使我们更加系统的理解光学理论，这对广大学者都有着不可或缺的意义。
费马原理的直观表达光从空间的一点到另一点的实际路径是沿着光程为极值的路径传播的。或者说光沿着光程为极大、极小或者常量的路径传播。
t
光线从Q点传播到P点所需的总时间：

i1
livi

1c
i1

ili
t1
c
PQ

dl
费马原理：在所有可能的光传播路径中，实际路径所需的时间
取极值。t1c
PQ

dl

0
在光传播的所有可能存在的路径中，其实际路径所对应的光程取极致。L
PQ

dl

0
①直线传播定律：两点间的所有可能连线中，线段最短光程取极小值。②内椭球面的反射：椭球面上任一点到两个焦点连线的角平分线即过该点的面法线，且两线段长度之和相等。用费马原理导出反射定律
如下图，PQ为两个介质间的平面反射镜从A点发射出的光线照射到PQ平面上的O点，经过反射到达B点。假设光线所处的介质为均匀介质。光线的透射点O到A点与反射平面垂足P的长度为x。那么点A到点B的光程为：
L
AO
OB


H12x2
H
22

a

x2

f本科生毕业论文
费马定理
很明显，光程L是关于变量x的函数，由费马原理分析，真实的光程是固定的，在均匀介质
中的一阶导数是0，即
dL
x
ax0
dx
H12x2
H
22

a

x2
即有
si
I
si
I即II
反射定律由上面推导出来了。进一步可以证明d2L0这说明满足反射定律的光线具有dx2
最短光程。从费马原理导出折射定律
下图中，两个介质均为均匀介质，它们的折射率分别为
1、
2，光线从
1介质投射到折
射面的O点，光线折射后进入
2介质，然后通过B点。设O点到A点垂足的距离是x，由下
图可以得出A点到B点的光程为
L
1AO
2OB

1
H12x2
2
H
22

ax
2
根据费马原理有dLdx

1xH12x2

2ax
H
22

a

x2
0因而有
1si
I1
2si
I2
f本科生毕业论文
费马定理
这就是折射定律。同理可得可证明d2L0，这说明满足折射定律的光线有最短的光dx
程。利用费马原理导出单球面折射成像公式
如上图所示，在一个半径为r的单球面的分界面，其两侧的折射r