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第4讲利用导数证明不等式
直接将不等式转化为函数的最值
典例引领2017高考全国卷Ⅲ已知函数fx＝l
x＋ax2＋2a＋1x
1讨论fx的单调性；
2当a0时，证明fx≤－43a－2
【解】1fx的定义域为0，＋∞，f′x＝1x＋2ax＋2a＋1＝（x＋1）（x2ax＋1）
当a≥0，则当x∈0，＋∞时，f′x0，故fx在0，＋∞上单调递增．
当a0，则当x∈0，－21a时，f′x0；当x∈－21a，＋∞时，f′x0故fx在
1
1
0，－2a上单调递增，在－2a，＋∞上单调递减．
2证明：由1知，当a0时，fx在x＝－21a取得最大值，最大值为f－21a＝l
－21a
－1－41a
所以
fx≤－43a－2
等价于
1
13
l
－2a－1－4a≤－4a－2，即
11l
－2a＋2a＋1≤0设
gx
＝l
x－x＋1，则g′x＝1x－1当x∈0，1时，g′x0；当x∈1，＋∞时，g′
x0所以gx在0，1上单调递增，在1，＋∞上单调递减．故当x＝1时，gx取得
最大值，最大值为g1＝0所以当x0时，gx≤0从而当a0时，l
－21a＋21a＋
1≤0，即fx≤－43a－2
将不等式转化为函数最值来证明不等式，其主要思想是依据函数在固定区间的单调性，直接求得函数的最值，然后由fx≤fxmax或fx≥fxmi
直接证得不等式．
将不等式转化为两个函数的最值进行比较
典例引领
1
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已知fx＝xl
x
1求函数fx在t，t＋2t0上的最小值；
2证明：对一切x∈0，＋∞，都有l
xe1x－e2x成立．
【解】1由fx＝xl
x，x0，得f′x＝l
x＋1，
令f′x＝0，得x＝1e
当x∈0，1e时，f′x0，fx单调递减；
当x∈1e，＋∞时，f′x0，fx单调递增．
①当0t1et＋2，即0t1e时，
fxmi
＝f1e＝－1e；
②当1e≤tt＋2，即t≥1e时，fx在t，t＋2上单调递增，fxmi
＝ft＝tl
t
－1e，0te1
所以fxmi
＝
tl
t，t≥1e
2证明：问题等价于证明xl
xexx－2ex∈0，＋∞．
由1可知fx＝xl
xx∈0，＋∞的最小值是－1e，
当且仅当x＝1e时取到．
设mx＝exx－2ex∈0，＋∞，
则m′x＝1－exx，
由m′x0得x1时，mx为减函数，
由m′x0得0x1时，mx为增函数，
易知mxmax＝m1＝－1e，当且仅当x＝1时取到．
从而对一切
x∈0，＋∞，xl

x
≥
－
1e
≥
xex
－
2e
，
两
个
等
号
不
同
时
取
到
，
即
证
对
一
切
x∈0，＋∞都有l
xe1x－e2x成立．
2
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