19
336
故A的特征值为102139
对于特征值10由
A132
213
633100
210
103
得方程Ax0的基础解系p1111T向量p1是对应于特征值10的特征值向
量
对于特征值21由
A
E

223
223
733002
200
103
得方程AEx0的基础解系p2110T向量p2就是对应于特征值21的特
征值向量
对于特征值39由
A
9E


823
28
3
333


100
110
1201
74
f得方程A9Ex0的基础解系p312121T向量p3就是对应于特征值39的特征值向量
3
0010
0010
0100
1000

001
解
AE
00
11
00
1212
100
故A的特征值为121341
对于特征值121由
A
E

1010
0110
0110
1010

1000
0100
0100
1000

得方程AEx0的基础解系p11001Tp20110T向量p1和p2是对应
于特征值121的线性无关特征值向量
对于特征值341由
A

E


1001
0110
0110
10011000
0100
0100
01
00


得方程AEx0的基础解系p31001Tp40110T向量p3和p4是对应于
特征值341的线性无关特征值向量
6设A为
阶矩阵证明AT与A的特征值相同证明因为
ATEAETAETAE所以AT与A的特征多项式相同从而AT与A的特征值相同
7设
阶矩阵A、B满足RARB
证明A与B有公共的特征值有公共的特征向量
证明设RArRBt则rt
若a1a2a
r是齐次方程组Ax0的基础解系显然它们是A的对应于特征值0的线性无关的特征向量
75
f类似地设b1b2b
t是齐次方程组Bx0的基础解系则它们是B的对应
于特征值0的线性无关的特征向量
由于
r
t
rt
故a1a2a
rb1b2b
t必线性相关于
是有不全为0的数k1k2k
rl1l2l
t使
k1a1k2a2k
ra
rl1b1l2b2r