学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社
2011年全国高中数学联赛
一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1．设集合Aa1a2a3a4，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为
B1358，则集合A
．
2．函数fxx21的值域为
．
x1
3．设ab为正实数，112ab
2，ab24ab3，则logab
．
4．如果cos5si
57si
3cos3，02，那么的取值范围是
．
5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每
个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数
为
．（用数字作答）
6．在四面体ABCD中，已知ADBBDCCDA60，ADBD3，CD2，则
四面体ABCD的外接球的半径为
．
7．直线x2y10与抛物线y24x交于AB两点，C为抛物线上的一点，ACB90，
则点C的坐标为
．


8．已知a

C
3200
6
200

12


1295，则数列a
中整数项的个数为
．
二、解答题（本大题共3小题，共56分）
9．（16
分）设函数
fxlgx1，实数abab满足
fa
f
b1
，
b2
f10a6b214lg2，求ab的值．
10．（20分）已知数列a
满足：a12t3tR且t1，
a
1

2t
1
3a
2t1t
a
2t
1
1

N．
（1）求数列a
的通项公式；
（2）若t0，试比较a
1与a
的大小．
11．（本小题满分20分）作斜率为1的直线l与椭圆C：x2y21交于AB两点（如
3
364
图所示），且P322在直线l的左上方．
（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若APB60，求△PAB的面积．
yP
x
O
B
A
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解答
1．3026提示：显然，在A的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以
3a1a2a3a4135815，故a1a2a3a45，于是集合A的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合A3026．
2．21提示：设xta
，且，则
2
2
2
4
1
fxcos
1

ta
1si
cos
1
．
2si

4
设u2si
，则2u1，且u0，所以fx121．
4
u
2
3．1提示：由1122，得ab22ab．又ab
ab24abab24ab4ab342abab38ab2，即
ab22ab．
①
于是
ab22ab．
②
再由不等式①中等号成立的条件，得
ab

1
．与②联立解得
ab

22

11
或
ab

2121
故logab1．4．5提示：不等式44
cos5si
57si
3cos3
等价于
si
31si
5cos31cos5
7
7
又fxr