第一讲整数问题
一、知识要点1整除因数、倍数
第1课数的整除
必要条件:(1)a、b、c三个数是整数(2)b≠0(3)a÷bc
结论:整数a能被整数b整除,或b能整除a,则a叫做b的倍数,b叫做a的因数。记作:b|a
整数a除以整数b(b≠0)等于c(c是整数且没有余数),那么说a能被b整除,或b能整除a,a叫做b的倍数,b叫做a的因数。
2相关基础知识点回顾(1)0是任何整数的倍数。(2)1是任何整数的因数。
3数整除的性质性质1:如果a、b都能被m整除,那么它们的和与差也能被m整除。即:如果m|a,m|b,那么m|(a±b)。例如:如果2|10,2|6,那么2|(10+6),并且2|(106)。
性质2:如果a能同时被m、
整除,那么a也一定能被m和
的最小公倍数整除。即:如果m|a,
|a,那么m,
|a。
例如:如果6|36,9|36,那么6,9|36。
性质3:如果m、
都能整除a,且m和
互质,那么m与
的积能整除a。即:如果m|a,
|a,且(m,
)1,那么(m×
)|a。
例如:如果2|72,9|72,且(2,7)1,那么18|72。
性质4:如果a能整除b,b能整除m,那么a能整除m。即:如果a|b,b|m,那么a|m。
1
f例:如果7|14,14|28,那么7|28。
4数的整除特征(1)能被2整除的数的特征:如果一个整数的个位数是偶数(即个位数是2、4、6、8、0),那么它
必能被2整除。
(2)能被5整除的数的特征:如果一个整数的个位数字是0或5,那么它必能被5整除。
(3)能被3(或9)整除的数的特征:如果一个整数的各位数字之和能被3(或9)整除,那么它必能被3(或9)整除。
(4)能被4(或25)整除的数的特征:如果一个整数的末两位数能被4(或25)整除,那么它必能被4(或25)整除。
例:1864能否被4整除?解:1864180064,因为4|64,4是1864的因数,1864是4的倍数,所以4|1864。(5)能被8(或125)整除的数的特征:如果一个整数的末三位数能被8(或125)整除,那么它必能被8(或125)整除。例:29375能否被125整除?解:2937529000375,因为125|375,125是375的因数,375是125的倍数,所以125|29375。(6)能被11整除的数的特征:如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)能被11整除,那么它必能被11整除。奇数位指:这个数的个位、百位、万位……;偶数位指:这个数的十位、千位、十万位……例:判断13574是否是11的倍数?解:这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是:(4+5+1)(7+3)=0。因为0是r