专题利用法向量求空间角和距离
（一）如何求法向量
1法向量：在空间几何中，如果一个向量所在直线垂直于一个平面，我们就说该向量是这个
平面的一个法向量，平面α的法向量
是求线线角，线面角，面面角和点到平面距离的必备
工具，那么如何求一个平面的法向量呢？
2方法：由
⊥α可知，要求法向量
，只需在平面α上找出两个不共线向量ab，通过解
方程组

a
0b
0
得到，需注意的是平面α的法向量不是唯一的，一般取一个研究即可有时
也可先证明某一条直线是平面的垂线，在平面的垂线上取一个向量即为法向量
3例题
例1棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，求平面ACD1的法向量
和单位法向量
0
例2在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB900侧棱AA12，DE分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是三角形ABD的重心G，建立适当的空间直角坐标系，求平面ABD的法向量及平面AED的法向量
小结：动手试试：已知ABCD是边长为4的正方形，EF分别是ABAD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GD2，建立适当的空间直角坐标系，求平面EFG的法向量
（二）利用向量法求空间角1求线线角的大小
A→BC→D
结论1：异面直线a与b所成角为θ，且A∈aB∈aC∈bD∈b则cosθ
A→B

C→D


例3在正四棱锥VABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2，高为1，求异面直线BE与VA所成的角
小结：
f2求线面角的大小结论2：设θ为直线l与平面α所成的角，m为l的方向向量，
为平面α的法向量，则有si
θmm
例4已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，求AB1与侧面ACC1A1所成的角的余弦值
小结：3求二面角的大小结论3：设
1
2分别为平面αβ的法向量，二面角αlβ的大小为θ，若θ为锐角则cosθmm11
22；若θ为钝角则cosθmm11
22；若θ为直角则cosθ0
33例5正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为3，侧棱长为2，D是CB延长线上一点，且BDBC，求二面角B1ADB大小
小结：（三）利用向量求空间距离1求点点距离例6已知正方体ABCDA1B1C1D1的边长为1，MN分别为BD1和CC1的中点求证MN为BD1CC1的公垂线并求MN的长
小结：2求点面距离结论4：若A为平面α外一点，B为平面内一点，则点A到平面的距离
d
A→B



A→B

，其中
为平面α的法向量
例7已知正方体ABCDA1B1C1D1，求点B到平面ACB1的距离
小结：
f3求异面直线间的距离
结论5：若A∈aB∈b则异面直线ab间的距离为d
A→B



A→B

其r