（二十一）数学分析期终考试题
一叙述题：（每小题5分，共15分）1开集和闭集2函数项级数的逐项求导定理3Riema
可积的充分必要条件
二计算题：（每小题7分，共35分）
1、9x31xdx1
2、求x2yb2b20ab绕x轴旋转而成的几何体的体积
3、求幂级数11
2x
的收敛半径和收敛域

1


4、lim
x2y2
x01x2y21
y0
5、fxyzxxy2yz2，l为从点P0212到点（1，1，2）的方向，求flP0
三讨论与验证题：（每小题10分，共30分）
1、已知
f
x
y

x2

y2si

x2
1
y2

0
点不连续，但它在该点可微
2、讨论级数l
21的敛散性。
1
21
x2y20，验证函数的偏导数在原x0y0
3、讨论函数项级数

x


x
1

1
1
x11的一致收敛性。
四证明题：（每小题10分，共20分）
1若fxdx收敛，且f（x）在a∞）上一致连续函数，则有limfx0
a
x
2设二元函数fxy在开集DR2内对于变量x是连续的，对于变量y满足
Lipschitz条件：fxyfxyLyy其中xyxyDL为常数证
明fxy在D内连续。
参考答案一、1、若集合S中的每个点都是它的内点，则称集合S为开集；若集合S中包含了它的所有的聚点，则称集合S为闭集。
f
2设函数项级数u
x满足（1）u
x
12在a，b连续可导
1

a
u
x在a，b点态收敛于Sx

1

b
ux在a，b一致收敛于x

1

则Sxu
x在a，b
1
可导，且ddx

u
x
1

1
ddx
u

x
3、有界函数fx在a，b上可积的充分必要条件是，对于任意分法，当
m1iax
xi0时Darboux大和与Darboux小和的极限相等
二、1、令t31x（2分）9x31xdx321t3t3dt468（5分）
1
0
7
2、y1ba2x2y2ba2x2，（2分）所求的体积为：

aa

y12
y22dx22a2b（5分）
11

3、解：由于lim



1
1收敛半径为14分），当

11
1
11
1e
e

1

1
x1时，11
21
1
10
，所以收敛域为113分）
e

e
ee
4、limx2y2limx2y21x2y21lim1x2y212（7
x01x2y21x01x2y211x2y21x0
y0
y0
y0
分）
5、解：设极坐标方程为fx2122fy2120fz2124（4分）
fl212
6（3分）13
三、1、解、
fx

2xsi

x2
1
y2

x2
1
y2
cosx2
1
y2


0
x2y20（4分）由于x2y20
fx2
1
y2
cos
x2
1
y2
当趋于（0，0）无极限。所以不连续，同理可的
fy
也不连续，（2
分）
2、解：lim

l

2
22
11
1（5
分）

1
2收敛，所以原级数收敛（5
r