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第11炼函数零点的性质
一、基础知识：1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点（2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫（3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。
三者转化：函数fx的零点方程fx0的根方程变形方程gxhx的根
函数gx与hx的交点
2、此类问题的处理步骤：（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像（2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围（3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值，3、常见处理方法：
（1）代换法：将相等的函数值设为t，从而用t可表示出x1x2，将关于x1x2的表达式转化为关于t的一元表达式，进而可求出范围或最值（2）利用对称性解决对称点求和：如果x1x2关于xa轴对称，则x1x22a；同理，
若x1x2关于a0中心对称，则也有x1x22a。将对称的点归为一组，在求和时可与
对称轴（或对称中心）找到联系二、典型例题：
例1：已知函数fxlgx，若0ab，且fafb，则a2b的取值范围是
（）
A22
B22
C3
D3
f思路：先做出fx的图像，通过图像可知，如果fafb，则0a1b，设
f
a
f
b

t
，即

lg
a
t
t0，由ab范围
lgbt
可得：lg
a

0lgb

0
，从而
lglg
ab

tt

ab

etet
，
所
以
a
2b

1et
2et
2et

1et
3
，而
et0
，所以
答案：C
小炼有话说：（1）此类问题如果fx图像易于作出，可先作图以便于观察函数特点
（2）本题有两个关键点，一个是引入辅助变量t，从而用t表示出ab，达到消元效果，但
是要注意t是有范围的（通过数形结合yr