83多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式
一．多元复合函数的求导法则
类似于一元复合函数的定义我们现在给出二元复合函数的定义。定义设函数zfuv，而u、v均为x、y的函数，即uuxy，
vvxy，则函数zfuxyvxy叫做x、y的复合函数。其中u、
v叫做中间变量，x、y叫做自变量。现在再将一元函数微分学中的复合函数的求导法则，推广到多元复合函数。多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。定理如果函数uuxy，vvxy在点（xy）处都具有对x
及对y的偏导数，函数zfuv在对应点（uv）处具有连续偏导数，则复合函数zfuxyvxy在点（xy）处存在两个偏导数，且具有下列公式
zzuzvxuxvx
zzuzvyuyvy
定理中的公式叫做复合函数的偏导数的锁链法则，它可以推广到各种复合关系的复合函数中去。作为初学者，我们常用图示法表示各变量之间的关系（如图所示）。uxzvy
图中的每一条线表示一个偏导数，如“zu”表示图来求
z。现在我们利用u
z，首先看z通过中间变量到达x有两条路径：zux和xzvx，那么结果就一定是两项之和，又在第一项中有zu和zu。同理第二项为ux两个环节，那么这一项一定是两式相乘，即ux
fzv。于是vx
zzuzvxuxvx
一般地，无论复合函数的复合关系如何，因变量到达自变量有几条路径，就有几项相加，而一条路径中有几个环节，这项就有几个偏导数相乘。例1解
2设zul
v，而u
yzz，v2x3y，求，。xxy
函数各变量之间的关系如上图所示，由锁链法则
zzuzvyu22ul
v22xuxvxvx
2y22y23l
2x3y2xx2x3y
zzuzv1u22ul
v3yuyvyxv

例2解
2y3y2l
2x3yx2x22x3y
2xy
求ze
si
x2y2的一阶偏导数。
可以引入中间变量，按复合函数的求导法则计算。
u
22设u2xy，vxy，则zesi
v。函数各变量之间的关系
如上图所示，由锁链法则
zzuzveusi
v2yeucosv2xxuxvx
2e2xyysi
x2y2xcosx2y2
zzuzveusi
v2xeucosv2yyuyvy
2e2xyxsi
x2y2ycosx2r