第4章三角形中的分角线
三角形中分角线有如下一系列有趣的结论我们以性质的形式介绍之
性质1设1A、2A是ABC△的BC边上异于端点的两点令1BAAα∠12AAAβ∠2AAC∠
γ则αγ的充要条件是
2122
12BABAABACACAC或221212
ABACBABAACAC或si
si
si
si
αβγγαβ证法1如图41应用三角形正弦定理有
图41
γ
βα
A2A2
A1
DB
C
EA
2
121212si
si
si
si
AABAAB
ABABABBABABABAααβ∠∠
21
21212
si
si
si
si
AACAACACACACACACACACβγγ∠∠
①必要性当αγ时则由上述①式即得结论
充分性当212
212BABAABACACAC
时在BC边上取点2
A使2AACα∠此时由①式有212
2
12BABAABACACAC于是有2222BABAACAC
从而22
222
2BABABAACBAAC
即知2A与2A重合故αγ证法2如图41作12AAA△的外接圆分别交AB、AC于点D、E则由割线定理有11ABBDBABA12ACCECACA
亦即有12
12
BABAABBDACCECACA
②
于是xγ12ADAEDEBC∥
BDCEABBD
ABACACCE

212212BABAABABBDACACCECACA②注设1A2A是ABC△的BC边上异于端点的两点若12BAAAAC∠∠则
f11212AC
ABACAAAABABAAB
21212AB
ABACAAAACACAAC
32121212BABACACAABACAAAA
事实上1如图42作ABC△的外接圆与直线1AA2AA分别交于点1B2B联结1BB2BC则12BBBC
图42
B2
B1
A2A1C
B
A
由1ABA△∽2ABC△有11
2AABAACCB
①由1ABB△∽2AAC△有
122
BBAC
ABAA

②
由①÷②并注意12BBBC得121
2AAACACBAAAAB

③
又由1ABA△∽2ABC△有1
2AAABABAC
于
是
22
121222
BAAC
ABACAAABAAAAABAAAAAAABAAAAAAAA相交弦定理
1
122ACBAAAAABAAB
代入③1212AC
AAAABABAAB
2同1中证法即得
3由1与2中两式相乘即得
还需特别指出的是由1、2中两式有
1212ACAB
BABACACAABAC
即有212
212BABAABACACAC
这给出了性质1必要性的另证
性质1的充分性也可由三角知识推导
由si
si
si
si
ααβγβγ并令αβγθ则0θ180将三角式积化和差及和差化积有coscoscoscosαθγαθγγθαγθα亦即有
fsi
si
0θαγ于是si
0αγ而0αγ90故αγ
对于图42类似于证法2可证得xγ的充要条件是21112
222AABAAC
AABAAC
此时我们可得如下推论
推论1设1A是ABC△的BC边上一点异于端点则
1111
si
si
BAAAC
ABACACBAA∠
∠推论2设1A是ABC△的BC边上一点异于端点令1BAAα∠1AACγ∠则αγ的充r