高等数学教案
第四章不定积分
第四章不定积分
教学目的：
1、理解原函数概念、不定积分的概念。2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）
与分部积分法。3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点：1、不定积分的概念；2、不定积分的性质及基本公式；3、换元积分法与分部积分法。教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。
§41不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念
定义1如果在区间I上可导函数Fx的导函数为fx即对任一xI都有Fxfx或dFxfxdx
那么函数Fx就称为fx或fxdx在区间I上的原函数例如因为si
xcosx所以si
x是cosx的原函数
又如当x1时
因为x1所以x是1的原函数
2x
2x
提问
cosx和1还有其它原函数吗？2x
原函数存在定理如果函数fx在区间I上连续那么在区间I上存在可导函数Fx使对任一xI都有
Fxfx简单地说就是连续函数一定有原函数两点说明第一如果函数fx在区间I上有原函数Fx那么fx就有无限多个原函数FxC都是fx的原函数其中C是任意常数第二fx的任意两个原函数之间只差一个常数即如果x和Fx都是fx的原函数则xFxCC为某个常数
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第四章不定积分
定义2在区间I上函数fx的带有任意常数项的原函数称为fx或fxdx在区间I上的不
定积分记作
fxdx
其中记号称为积分号fx称为被积函数fxdx称为被积表达式x称为积分变量
根据定义如果Fx是fx在区间I上的一个原函数那么FxC就是fx的不定积分即
fxdxFxC
因而不定积分fxdx可以表示fx的任意一个原函数
例1因为si
x是cosx的原函数所以
cosxdxsi
xC
因为x是1的原函数所以2x

2
1x
dx
xC
例2求函数fx1的不定积分x
解：当x0时l
x1x

1x
dx

l

x
C
x0
当
x0
时l
x

11x

1x


1x
dx

l
x
C
x0
合并上面两式得到

1x
dx

l


x

C
x0
例3设曲线通过点12且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍求此曲线的方程
解设所求的曲线方程为yfx按题设曲线上任一点xy处的切线斜率为yfx2x
即fx是2x的一个原函数
因为2xdxx2C
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故必有某个常数C使fxx2C即曲线方程为yx2C因所求曲线通过点12故
21CC1于是所求曲线方程为yx21
积分曲线函数fx的原函数r