第3讲
空间向量与立体几何
1．2013青岛质检如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是．
A．平行C．异面垂直解析
B．相交D．异面不垂直
建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A200，M0，01，O110，
→＝－1，0，－2，AM→＝－201，NO→→＝0，则直线NO，AMN212，NOAM的位置关系是异面垂直．
答案
C
2．2013上海高考在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为________．
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f解析
在题图中，连接A1D，DB，则A1D∥B1C，
∴∠DA1B为异面直线A1B与B1C所成的角，又A1D＝BD＝A1B，因此∠DA1Bπ＝3答案π3
3．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为________．解析以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间
直角坐标系，由AB＝AC＝1，PA＝2，得A000，B100，C010，P002，1111D2，00，E2，2，0，F0，2，1，
1→11→＝002，DE→＝0，2，0，DF∴AP＝－2，2，1，设面DEF的法向量为
＝x，y，z．→＝0，
DEy＝0，则由得取z＝1，则
＝201，设PA与平面DEF所→x＝2z，DF＝0，

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f→PA
5成角为θ，则si
θ＝＝5→
PA答案55
4．2013北京高考如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为________．
解析
点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，
设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值，当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝2×125＝522＋1255
答案
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