投资收益和风险的模型
摘要在现代商业、金融的投资中，任何理性的投资者总是希望收益能够取得最大
化，但是他也面临着不确定性和不确定性所引致的风险。而且，大的收益总是伴随着高的风险。在有很多种资产可供选择，又有很多投资方案的情况下，投资越分散，总的风险就越小。为了同时兼顾收益和风险，追求大的收益和小的风险构成一个两目标决策问题，依据决策者对收益和风险的理解和偏好将其转化为一个单目标最优化问题求解。随着投资者对收益和风险的日益关注如何选择较好的投资组合方案是提高投资效益的根本保证。传统的投资组合遵循“不要将所有的鸡蛋放在一个蓝子里”的原则将投资分散化。一问题的提出
某公司有数额为M（较大）的资金，可用作一个时期的投资，市场上现有5种资产（Si）如债券、股票等可以作为被选的投资项目，投资者对这五种资产
进行评估，估算出在这一段时期内购买Si的期望收益率（ri）、交易费率pi、
风险损失率qi以及同期银行存款利率r0（r03）在投资的这一时期内为定值
如表1，不受意外因素影响而净收益和总体风险只受ripiqi影响，不受其他因素干扰。现要设计出一种投资组合方案使净收益尽可能大风险尽可能小
表1
投资项目Si存银行S0
S1S2S3S4S5
期望收益率ri3
风险损失率qi0
交易费率pi0
27
24
1
22
16
2
25
52
45
23
22
65
21
15
2
1
f其中i012345
二问题假设及符号说明
21问题假设
1总体风险可用投资的这五种中最大的一个风险来度量；
2在投资中不考虑通货膨胀因素因此所给的Si的期望收益率ri为实际的平
均收益率；3不考虑系统风险即整个资本市场整体性风险它依赖于整个经济的运行情
况投资者无法分散这种风险而只考虑非系统风险即投资者通过投资种类的选择使风险有所分散；4不考虑投资者对于风险的心理承受能力。22符号说明
xi：购买第i种资产的资金数额占资金总额的百分比；
Mxi：购买第i种资产的资金数额；Mx0：存银行的金额；
fxi：交易费用；
R：净收益；
Q：总体风险；三模型的分析与建立
令交易费用
i：第i种投资的净收益率。
则净收益为
fxi0Mxipi
xi0xi0
i01
5
总体风险为
5
RM1rixiMi0
约束条件为
Q
max
0i5
Mxi
qi
可以简化约束条件为
5
5
fxiMxiM
i0
i0
5
1pixi1
i0
2
f5
同时将MM1pixi代入，得i0
5
5
5
RM1rixiM1pixiMripixi
i0
i0
i0
略去M原问题化为双目标决策问题
5
maxRxiripii0
mi
Q
max
0i5
xir