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因动点产生的相似三角形问题
例1
2012年苏州市中考第29题
121bxb1x（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交444于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
如图1，已知抛物线y
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻．
思路点拨
1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．
满分解答
b．4（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．因此PD＝PE．设点P的坐标为xx．
（1）B的坐标为b0，点C的坐标为0
f如图3，联结OP．
1b15所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝xbxbx＝2b．2428
解得x
161616．所以点P的坐标为．555
图2图311b1（3）由yx2b1xx1xb，得A10，OA＝1．4444①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．BAQA当，即QA2BAOA时，△BQA∽△QOA．QAOA
b所以2b1．解得b843．所以符合题意的点Q为123．4
②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。因此△OCQ∽△QOA．BAQA当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．QAOA所以C、Q、B三点共线．因此
BOQA，即bQA．解得QA4．此时Q14．COOAb14
图4
图5
考点伸展
第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．r