第十讲：数论之余数问题
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：
一、带余除法的定义及性质：
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）若有a÷bq……r，也就是a＝b×q＋r0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：1当r0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商2当r0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：
1余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于ab分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以231639除以5的余数等于4，即两个余数的和31当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故231942除以5的余数等于347除以5的余数，即22余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于ab分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×13。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即23同余定理
f若两个整数a、被自然数m除有相同的余数，b那么称a、对于模m同余，b用式子表示为：a≡bmodm，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡bmodm，那么一定有a－b＝mkk是整数，即ma－b
三、弃九法原理：
在公元前9世纪，有个印度数学家r