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2010届高考数学快速提升成绩题型训练抽象函数抽象函数
1已知函数yfxx∈Rx≠0对任意的非零实数x1x2恒有fx1x2fx1fx2试判断fx的奇偶性解令x11x2x得fxf1fx……①为了求f1的值令x11x21则f1f1f1即f10再令x1x21得f1f1f12f1∴f10代入①式得fxfx可得fx是一个偶函数
2已知定义在22上的偶函数fx在区间02上单调递减若f1mfm求实数m的取值范围分析根据函数的定义域mm∈22但是1m和m分别在20和02的哪个区间内呢如果就此讨论将十分复杂如果注意到偶函数则fx有性质fxfxfx就可避免一场大规模讨论解∵fx是偶函数f1mfm可得f1m
fm
1mm∴fx在02上是单调递减的于是0≤1m≤20≤m≤2
12mm2m2即2≤1m≤22≤m≤2
化简得1≤m
12
3设fx是R上的奇函数且fx3fx求f1998的值解因为fx3fx所以fx6fx33fx3fx故6是函数fx的一个周期又fx是奇函数且在x0处有定义
WisdomLoveWisdomLoveL第1页共14页2009年12月31日星期四
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所以fx0从而f1998f6×333f00
1x1x2∈0都有fxxfxfx4设函数fx对任意12122
11f已知f12求f24
xx解由fx1x2fx1fx2x1x2∈02知fxf2f2≥0x∈01
1
11111∵f1ffff222222
f12
11f24∴f2同理可得42
12
1
5已知fx是定义在R上的函数且满足fx21fx1fxf11997求f2001的值解从自变量值2001和1进行比较及根据已知条件来看易联想到函数fx是周期函数由条件得fx≠1故
111fxfx21fxfx41111fx1fxfxfxfx
所以fx8
1fxfx4
从而f2001f11997
所以fx是以8为周期的周期函数
这类问题出现应紧扣已知条件需用数值或变量来迭代变换经过有限次迭代可直接求出结果或者在迭代过程中发现函数具有周期性利用周期性使问题巧妙获解6设fx是定义R在上的函数对任意xy∈R有fxyfxy2fxfy且f0≠01求证f012求证yfx为偶函数
证明1问题为求函数值只需令xy0即可得2问题中令x0即得fyfy2f0fy且f01所以fyfy2fy因此yfx为偶函数
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