2000年全国高中数学联赛
冯惠愚
2000年全国高中数学联合竞赛试卷
（10月15日上午800940）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数，若Axx－2≤0，Bx1010x，则A∩RB是A2B1Cxx≤2Dααα2．设si
＞0，cos＜0，且si
＞cos，则的取值范围是333ππ2kππ2kππA2k，2k，kZB，，kZ6336335πππ5πC2k，2k，kZD2k，2k∪2k，2k，kZ6436223．已知点A为双曲线xy1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是333ABC33D63324．给定正数p，q，a，b，c，其中pq，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx22axc0A无实根B有两个相等实根C有两个同号相异实根D有两个异号实根545．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线yx的距离中的最小值是35343411ABCD170852030ππ6．设ωcosisi
，则以，3，7，9为根的方程是55Ax4x3x2x10Bx4x3x2x10432Cxxxx10Dx4x3x2x10二．填空题（本题满分54分，每小题9分）1．arcsi
si
2000__________．
x2－2
32333
2．设a
是3x
的展开式中x项的系数
2，3，4，…，则lim…________a
→∞a2a33．等比数列alog23，alog43，alog83的公比是____________x2y24．在椭圆221a＞b＞0中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B若该椭圆的离心率ab5－1是，则∠ABF_________25．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________6．如果：1a，b，c，d都属于1，2，3，4；2ab，bc，cd，da；3a是a，b，c，d中的最小值，____那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________三、解答题本题满分60分，每小题20分S
1．设S
123…
，
N，求f
的最大值．
32S
1
1
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1132．若函数fx－x2在区间a，b上的最小值为2a，最大值为2b，求a，b．22
x2y23．已知C0：x2y21和C1：221a＞b＞0．试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意aa一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形？并证明你的结论．
2
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冯惠愚
2000年全国高中数学联赛二试题
（10月15日上午10∶0012∶00）一．（本题满分50分）如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥ACr