解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法
形成精准思维模式，快速解题◆类型一利用“三线合一”作辅助线
一、已知等腰作垂线或中线、角平分线1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC若BE＝2，则BC＝________
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF求证：DE＝DF
二、构造等腰三角形3．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为A．3B．4C．5D．64．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E求证：BD＝2CE
f◆类型二
巧用等腰直角三角形构造全等
5．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，
F分别在AC，BC上．求证：DE＝DF
◆类型三
等腰边三角形中截长补短或作平行线构造全等
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D求证：BC＝AB＋CD
7．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连接PQ交AC于点D1求证：PD＝DQ；
f2若△ABC的边长为1，求DE的长．【方法8】
f参考答案与解析1．42．证明：连接AD∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD在△AED和
AE＝AF，△AFD中，∠EAD＝∠FAD，∴△AED≌△AFD，∴DE＝DFAD＝AD，
3．B4．证明：如图，延长BA和CE交于点M∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°∵BD平分∠ABC，∴∠MBE＝∠CBE又∵BE＝BE，∴△MBE≌△CBE，∴EM＝
EC＝MC∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC，∴∠ABD
＋∠BDA＝90°∵∠BEC＝90°，∴∠ACM＋∠CDE＝90°∵∠BDA＝∠EDC，∴∠ABE＝∠ACM又∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACMASA，∴DB＝MC，∴BD＝2CE
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5．证明：连接CD∵AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，∴CD平分∠ACB，
CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠B＝∠C＝45°，∴∠ACD
＝∠B＝∠BCD，∴CD＝BD∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°又∵∠CDF＋∠BDF＝90°，∴∠EDC＝∠FDB，∴△ECD≌△FBD，∴DE＝DF
6．证明：如图，在线段BC上截取BE＝BA，连接DE∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBDSAS，∴∠BED＝∠A＝108°，∴∠CED1＝180°－∠BED＝72°又∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝×180°2
f－108°＝36°，∴∠CDE＝180°－∠ACB－∠CED＝180°－36°－72°＝72°∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD7．1证明：过点P作PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠r