第三十讲
数形互助
数和形是数学研究的基本对象，是数学产生和发展的两块基石，在数学发展的过程中，数和形常常结合在一起，在方法上互相渗透，在内容上互相联系．以数助形，即恰当地引参或设元，把一些几何量如角度的大小、线段的长度等用字母或代数式表示，利用图形的性质，寻找几何图形元素之间的关系，通过解方程、等式变形、等式运算等代数方法解证几何题．用形辅数，即把一个代数问题转化为一个图形，问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，借助图形的直观性辅助解题，在代数的学习中，我们广泛地使用了用形辅数的方法，如用数轴赋予抽象的代数概念以直观的形象、乘法公式的几何表示、解应用题时常借助直线图、图表帮助分析等．例题求解【例1】若a、b均为正数，且a2b2，4a2b2，a24b2是一个三角形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于．“希望杯”邀请赛试题
思路点拨直接用三角形面积公式求面积较为复杂，利用m2
2的几何意义表示直角边分别为m，
的直角三角形斜边长，构造图形求面积．注古埃及，在长期土地测量、划分界限的过程中形成了最初的几何学．“Geometry几何”一词在希
腊文中意为“测量”，我国宋元时期巳将某些几何问题代数化，把图形之间的几何关系，表示成代数式之间的代数关系．17世纪笛卡尔的解析几何引进坐标，用“数”研究“形”，为18、19世纪数学的空前发展作了准备．【例2】如图，在△ABD中，C为AD上一点，ABCD1，∠ABC90°，∠CBD30°，则ACA．1B．32C．2D．3武汉市选拔赛试题
思路点拨过D作DE⊥AB交AB延长线于E，设ACx，BEy，运用平行线分线段成比例、直角三角形边角关系、勾股定理等知识建立方程组，通过解方程组求AC的值．【例3】如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE1，CF
4，直线FC交3
AB的延长线于G，过线段FG上的动点H作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足分别为M，N，设HMx，矩形AMHN的面积为y．1用x的代数式表示y；
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f2当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少2001年南京市中考题
思路点拔对于1S矩形AMHNHM×AM，AMABBM，只需把BM用x的代数式表示即可，对于2，把关于x的代数式通过配方变形可获解．注意相似三角形基本图形的运用．【例4】已知正数a、b、c和x、y、z满足axbyczk，求证：aybzcxk2．思路点拨相等的量赋予它的几何意义，易想到等边三角形、正方形，从构造边r