双曲线专题复习讲义
★知识梳理★
1双曲线的定义
（1）第一定义：当PF1PF22aF1F2时P的轨迹为双曲线
当PF1PF22aF1F2时P的轨迹不存在
当PF1PF22aF1F2时P的轨迹为以F1、F2为端点的两条射线
（2）双曲线的第二义
平面内到定点F与定直线l定点F不在定直线l上的距离之比是常数ee1的点的轨
迹为双曲线
2双曲线的标准方程与几何性质
标准方程焦点
x2y21ab0
a2b2c0c0，
y2x21ab0
a2b20c0c
性
焦距
范围
质
顶点
2cxayR
a0a0
yaxR
0a0a
对称性离心率
准线
xa2c
关于x轴、y轴和原点对称ec1a
ya2c
渐近线
ybxa
yaxb
与双曲线x2a2

y2b2
1共渐近线的双曲线系方程为：x2
a2
y2b2
0
与双曲线x2a2

y2b2

1共轭的双曲线为
y2b2
x2a2
1
等轴双曲线x2y2a2的渐近线方程为yx，离心率为e2；
★重难点突破★
1注意定义中“陷阱”
问题1：已知F150F250，一曲线上的动点P到F1F2距离之差为6，则双曲线的方
程为
点拨：一要注意是否满足2aF1F2，二要注意是一支还是两支
fPF1PF2610
，
P
的轨迹是双曲线的右支其方程为
x29
y216
1x0
2注意焦点的位置
问题2：双曲线的渐近线为y3x，则离心率为2
点拨：当焦点在x轴上时，b3，e13；当焦点在y轴上时，a3，e13
a2
2
b2
3
★热点考点题型探析★
考点1双曲线的定义及标准方程
题型1：运用双曲线的定义
例1某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s已知各观测点到该中心的距离都是1020m试确定该巨响发生的位置假定当时声音传播的速度为340ms相关各点均在同一平面上【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．
解析如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（xy）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得PAPC，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故PB－PA340×41360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线
x2y21上，a2b2
依题意得a680c1020，
b2c2a210202680253402
故双曲线方程为x26802
y253402
1
y
P
C
A
O
Bx
用y－x代入上式，得x6805，∵PBPA
x6805y6805即P6805r