算解决平行、垂直等位置关系，计算空间成角和距离等问题．2主要利用直线的方向向量和平面的法向量解决下列问题：
直线与直线平行1平行直线与平面平行平面与平面平行直线与直线垂直2垂直直线与平面垂直平面与平面垂直
3点到平面的距离求点到平面距离是向量数量积运算求投影的具体应用，也是求异面直线之间距离，直线与平面距离和平面与平面距离的基础．题型一利用空间向量证明平行问题
【例1】如图所示，在正方体ABCD1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：AMN∥平面A1BD证明法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建
立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
f11则M0，1，，N，1，1，D000，A1101，B110，2211→于是MN＝，0，，22设平面A1BD的法向量是
＝x，y，z．
x＋z＝0，→→则
1＝0，且
＝0，得DADBx＋y＝0
取x＝1，得y＝－1，z＝－1∴
＝1，－1，－1．11→又MN，0，
＝1，－1，－1＝0，22→∴MN⊥
，又MN平面A1BD，∴MN∥平面A1BD法二1→→→→1→MN＝C1N－C1M＝C1B1－C1C22
1→1→→＝D1A1－D1D＝DA1，22→→∴MN∥DA1，又∵MN与DA1不共线，∴MN∥DA1，又∵MN平面A1BD，A1D平面A1BD，∴MN∥平面A1BD【变式1】如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG证明∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形，
∴AB、AD两两垂直，为坐标原点，AP、以A建立如图所示的空间直角坐标系A则A000、xyz，B200、C220、D020、P002、E001、F011、G120．→→→∴PB＝20，－2，FE＝0，－10，FG＝11，－1，→→→设PB＝sFE＋tFG，即20，－2＝s0，－10＋t11，－1，
t＝2，∴t－s＝0，－t＝－2，
解得s＝t＝2
f→→→∴PB＝2FE＋2FG，→→→→→又∵FE与FG不共线，∴PB、FE与FG共面．∵PB平面EFG，∴PB∥平面EFG题型二利用空间向量证明垂直问题
【例2】如图所示，在棱长为1的正方体OABC1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的O动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤1，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz1求证A1F⊥C1E；2若A1，E，F，C1四点共面→1→→求证：A1F＝A1C1＋A1E2证明1由已知条件
A1101，F1－x10，C1011，E1，x0，→→A1F＝－x1，－1，C1E＝1r