e2，，即0，e2处的切线方程为：xye22
π
π
π
π
π
π
2
f3设fx为连续函数，求
dxtfxtdtdx∫0dxdx令xtu，则：∫tfxtdtxufududx0dx∫0xxdx∫fudu∫ufudu00dx
∫fuduxfxxfx∫fudu
00
x
x
四、计算下列积分（每题8分，共24分）
1∫
11ex
dx
令：1exu，则：xl
u21，dx
∫
11e
x
dx∫
211u1dul
du∫Cu1u1u1u1
2
2uu1
2
l

1ex11ex1
C
2∫x4a2x2dxa0
０
a
令：xasi
u，则：dxcosudu，
∫
a
０
x4a2x2dx∫2a4si
4ua2cos2udxa6∫2si
4usi
6udu
00
π
π
31π531ππa6a6422642232
3∫
ba
1dxbaxabx
xab2bbaa2
∫
ba
b1dx∫axabx
1ba2ab2x22
dxarcsi

arcsi

2xabbaπba
3
f证明题：五、证明题：每题6分，共18分）（
1
设0x1，证明：x
1x1其中
为正整数
e
设fxx
1x，令：f′x
x
1
1x
0，则：x当0x

1

时，f′x0；当x1时，f′x0
1
11
1

1故：fx在x时取最大值，fmax
1
1
1
1
111而数列1
1单调递减趋向于e，因此，
1e1

11则：
1e
1
11故：fmax
1
1
e1因此，当0x1时，x
1x
e
2
简叙函数fx在区间I上一致连续的定义，并证明fxx在1∞）一致，上
连续对ε0，δ0，当x′、x′′∈I，且x′x′′δ时，有fx′fx′′ε；则称fx在区间I上一致连续对ε0，δε0，当x′、x′′1，且x′x′′δ时，fx′fx′′x′x′′x′x′′x′x′′ε2x′x′′
因此，fx在1，∞上一致连续3叙述闭区间上连续函数的“零点存在”定理，并用“确界原理”证明连续函数的“零点存在”定理闭区间上连续函数的“零点存在”定理：设fx在a，b上连续，且fafb0，则：存在ξ∈a，b使fξ0不妨设fa0，fb0；记Sxfx0，x∈a，b由于b∈S，且S有界；根据确界原理，非空有界数集S有下确界记ξi
fS根据函数极限的局部保号性，显然，ξ≠a，ξ≠b如果fξ≠0，不妨令fξ0，则由函数极限的局部保号性，δ0，对x∈Uξ，δ，fx0特r