高中数学涂色问题常用技巧王忠全
涂色问题是一个复杂而有趣的问题，高考中不时出现，处理涂色问题常用的方法是两个计数原理分类计数和分步计数原理；常用的数学思想是等价转换，即化归思想；常见问题有：区域涂色、点涂色和线段涂色、面涂色；常考虑的问题是颜色是否要用完。例1、用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，
有多少种涂法？
1
3
4
2
解析：按题意，颜色要用完，1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；涂1，2，3只用了三种颜色，4必须涂第四种颜色，有1种涂法，共有A4424种涂法。
例2、给如下区域涂色，有四种颜色供选择，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？
1
3
4
2
解析：颜色可供选择，可理解为颜色可用完和不用完两种，分类处理，
1
f至少要用三色涂空，才能满足要求。
法1：
1）恰用三色：C43321248种涂法；2）恰用四色：同例1，有24种涂法。
共有244872种涂法。
法2：1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；4有3种涂法；
共72种涂法。
评析：由上述解法知，颜色用完和可供选择是两回事，做题时一定要
区分。
一、区域涂色问题
（一）、圆形区域涂色：处理圆形区域涂色大致有三种方法：间空涂
色法；公式法。
例3、用四种颜色给如下区域涂色，用四种颜色给如下区域涂色，要
求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？
一、间空涂色法；法1、用空分类选择1，3
152
43
1）1，3
同色，则
1，3
有
C
14
种方法，2
有
C
13
种方法，4
不
可能与1，3同色，但可与2同色，分两类：4与2
同色，只用了两种颜色，5有2种方法；4与2不同色，则4有2种
方法，5有2种涂法，此时，共有4322272种方法。
2）1，3
不同色，则
1，3
有
A42
种方法，2
有
C
12
种方法，4
与
1
2
f同色，5有3种方法；4与2不同色，则4有2种涂法，5有2种涂法，共有122223168种方法，综上所述，共有72168240种涂法。法2：公式法共有353（1）5240种方法。定理：用m种颜色（可选择）填圆形区域的
个空，一空涂一色，邻空不同色的涂法有m1
1
m1种。证明：如图，设有a
种不同涂法。
1

2
…
3
1
23
…


不妨把之剪开化为矩形区域共有mm1
1种涂法但区域1、
不能
涂同色，把1、
捆绑成一个空，有a
1种涂法，则
a
mm1
1a
1
a
a
1mm1
1a
a
1m
m1
m1
m1
1
a
1m
m1m1
1m1
其中a2

Am2

mm1
，设b


a
m1

则b2

mm1
令
b


r


1m
1
b


r，则
r1，
r