函数列的几种收敛性
王佩（西北师范大学数学与信息科学学院甘肃兰州730070）摘要讨论和总结函数列的收敛、一致收敛、处处收敛，几乎处处收敛、几乎处处一致收敛、依测度收敛、近乎收敛、近乎一致收敛、强收敛及其它们之间的关系和相关命题关键词：函数列；收敛；
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f一、几种收敛的定义
1、收敛的定义
定义1：设a
为数列，a为定数若对任给的正数，总存在正整数N，使得
当
N时有a
a则称数列a
收敛于a，定数a称为数列a
的极限，
并记作lim

a


a
或a


a



定义2：设f为定义在a上的函数，A为定数若对任给的0，存在正
数M（a），使得当xM时有fxA则称函数f当x趋于∞时以A
为极限，记作
limfxA或fx→Ax→∞用c表示
x
2、一致收敛的定义设函数列f
x与函数fx定义在同一数集E上，若对任意的ε0总存在自然数N，使得当
N时，对一切x∈E都有f
xfxε则称函数列f
x在E上一致收敛于fx，记作f
x→fx，（
→∞）x∈E用uc表示
3、几乎处处收敛的定义设函数列f
x与函数fx定义在同一可测集E上，若函数列f
x在E上满足mE（f
x→fx）0，（其中“→”表示不收敛于），则称f
x在
E上几乎处处收敛于fx，记作limf
xfxae于E，或f
→fae于
E用ac表示
4、几乎处处一致收敛设函数列f
x与函数fx定义在同一可测集E上，若函数列f
x在E上满足mE（f
xucfx）0，（其中“uc”表示不一致收敛于），
则称f
x在E上几乎处处一致收敛于fx，记作limf
xfxae于
E，或f
ucfae于E用auc表示
5、依测度收敛设函数列f
x是可测集E上一列ae有限的可测函数，若有E上一列ae有限的可测函数fx满足下列关系：
对任意σ0有limmEf
f≥σ0，则称函数列f
依测度收敛于f或度
量收敛于f记为：f
xfx
f6、近乎收敛若0EσE使得mEσ且f
xcfx在EEσ上，则称函数列f
x在E上近乎收敛于函数fx，记为f
x
cfx或简记
为f
cf用
c表示7、近乎一致收敛
若0EσE使得mEσ，r