平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知AB5，AD4，AA13，AB⊥AD，∠A1AB∠A1AD
π
3
。
（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积
图1图2解析：（1）如图2，连结A1O，则A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，1N。A由三垂线定得得A1M⊥AB，1N⊥AD。A∵∠A1AM∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA∴A1MA1N，从而OMON。∴点O在∠BAD的平分线上。（2）∵AMAA1cos
π
3AM3∴AO2。π2cos4
3×
1322
又在Rt△AOA1中，A1O2AA12AO29－
99，22
∴A1O
3232，平行六面体的体积为V5×4×302。22
f题型2：柱体的表面积、体积综合问题例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是236，这个长方体对角线的长是（A．2）
3
B．3
2
C．6
D．
6
解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a1，b＝labc
222
2，c＝3，则对角线l的长为
6；答案D。
点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素棱长。例4．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2_____。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则VV1V2＝Sh。∵E、F分别为AB、AC的中点，∴S△AEF
1S4
V1
1117hSSSSh34412
5Sh，12
V2ShV1
∴V1∶V27∶5。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可题型3：锥体的体积和表面积例5．72009山东卷理一空间几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为A2π23B4π23P
23C2π3
23D4π3
EA2BO
DC2
【解析】该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的圆柱的底面半径为1高为2体积为2π四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为×
13

2×3
2
233
2
所以该几何体的体积为2π
233
答案C【命题立意】本题考查了立体几何中的空间想象能力
2正主视图
2侧左视图
f由三视图能够想象得到空间的立体图并能准确地计算出几何体的体积（2009四川卷文）如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，
PA⊥平面ABCPA2AB则下列结论正确的是
APB⊥ADB平面PAB⊥平面PBCC直线BC∥平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为45°【答案】D答案】解析】【解析】∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD∴直r