＋1＝a两式相加得：αβ＋2α＋2β＋1＝0即α＋2β＋2＝3
2123∴或232115解得：或13
又∵a＝－α＋β，b＝αβ，c＝－α＋1＋β＋1∴a＝0，b＝－1，c＝－2或a＝8，b＝15，c＝6故abc＝－3或abc＝2912、如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点。证明：如图，延长AP交⊙O2于点Q连结AH，BD，QC，QH∵AB为直径∴∠ADB＝∠BDQ＝900∴BQ为⊙O2的直径于是CQ⊥BC，BH⊥HQ∵点H为△ABC的垂心∴AH⊥BC，BH⊥AC∴AH∥CQ，AC∥HQ，四边形ACHQ为平行四边形则点P为CH的中点。
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A
O1
H
DPC
B
O2
Q
f13、若从1，2，3，…，
中任取5个两两互素的不同的整数a1，a2，a3，a4，
a5，其中总有一个整数是素数，求
的最大值。
解：若
≥49，取整数1，22，32，52，72，这五个整数是五个两两互素的不同的整数，但没有一个整数是素数，∴
≤48，在1，2，3，┉┉，48中任取5个两两互素的不同的整数a1，a2，a3，a4，a5，若a1，a2，a3，a4，a5都不是素数，则a1，a2，a3，a4，a5中至少有四个数是合数，不妨假设a1，a2，a3，a4为合数，设a1，a2，a3，a4的最小的素因数分别为p1，p2，p3，p4由于a1，a2，a3，a4两两互素，∴p1，p2，p3，p4两两不同设p是p1，p2，p3，p4中的最大数，则p≥7因为a1，a2，a3，a4为合数，所以a1，a2，a3，a4中一定存在一个aj≥p2≥72＝49，与
≥49矛盾，于是a1，a2，a3，a4，a5中一定有一个是素数综上所述，正整数
的最大值为48。
14、如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC。点P在△ABC内，且PA＝3，PB＝5，PC＝2，求△ABC的面积。解：如图，作△ABQ，使得：∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP，则△ABQ∽△ACP，由于AB＝2AC，∴相似比为2于是，AQ＝2AP＝23，BQ＝2CP＝4∠QAP＝∠QAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP＝∠BAC＝60°由AQ：AP＝2：1知，∠APQ＝900于是，PQ＝3AP＝3∴BP2＝25＝BQ2＋PQ2从而∠BQP＝900作AM⊥BQ于M，由∠BQA＝1200，知∠AQM＝600，QM＝3，AM＝3，于是，
12
3673AB2＝82
PQMA
∴AB2＝BM2＋AM2＝4＋32＋32＝28＋83故S△ABC＝ABACsi
600＝
B
C
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fr