，使其转化为几个等差、等比数列，再求解
3裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项
4倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广
5错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式
的推导过程的推广
6并项求和法
一个数列的前
项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如a
＝－1
f
类型，可采用两项合并求解
三、典例剖析思维拓展
考点一由S
与a
的关系求a

1已知数列a
的前

项和为
S


14

2

23

3，则数列a
的通项公式a

＝_____
【答案】a
＝

47，
1121
5，
212

2
【解析】当
＝1时，a1＝S1＝1427，当
≥2时，a
＝S
－S
－1
＝14
2＋23
＋3－14（
－1）2＋23（
－1）＋3
＝12
＋152，
f经检验a1＝4172不满足上式
所以这个数列的通项公式为
a
＝
4712
，


1
12



512
，


2
【易错点】在利用数列的前
项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成a
＝S
－S
－1的形式，但它只适用于
≥2的情形
【方法点拨】1数列的通项a
与前
项和S
的关系是a
＝SS1
，－
S＝
－11，，
≥2
①当
＝1时，a1若适合S
－S
－1，则
＝1的情况可并入
≥2时的通项a
；②当
＝1时，a1若不适合S
－S
－1，则用分段函数的形式表示2已知S
求a
的3步骤：1先利用a1＝S1求出a1；2用
－1替换S
中的
得到一个新的关系，利用a
＝S
－S
－1
≥2便可求出当
≥2时a
的表达式；3注意检验
＝1时的表达式是否可以与
≥2的表达式合并．
考点二由递推关系式求数列通项公式
1在数列a
中，
1若a12，a
1a
3
2，则数列a
的通项公式a
＝________
2若a11，
a
1
1a
2，则数列a
的通项公式a
＝________
3若a11，a
12a
3，则通项公式a
＝________
4若a1
1，a
1

2a
a
2
，则a

＝________
【答案】1
32
2＋
2
22
＋1
3
2
＋1－3
24
＋1
【解析】1由题意，得a
＋1－a
＝3
＋2，
所以a
＝a
－a
－1＋a
－1－a
－2＋…＋a2－a1＋a1
＝3
－1＋3
－4＋…＋5＋2＝
（3
2＋1）
f即a
＝32
2＋
22由
a
－1＝
＋1a
≥2，得aa
－
1＝
＋
1
≥2所以a
＝aa
－
1aa
－－12aa
－－23…aa32aa21a1＝
＋
1
－
1
－－21…34231＝
＋21，又a1也满足上式所以a
＝
＋21
3设递推公式a
＋1＝2a
＋3可以转化为a
＋1＋t＝2a
＋t，即a
＋1＝2a
＋t，解得t＝3
故a
＋1＋3＝2a
＋3令b
＝a
＋3，则b1＝a1＋3＝4，且r