等式选讲
考情分析
1．考查含绝对值不等式的解法．2．考查有关不等式的证明．3．利用不等式的性质求最值．
基础知识
1．含有绝对值的不等式的解法1fx＞aa＞0fx＞a或fx＜－a；2fx＜aa＞0－a＜fx＜a；3对形如x－a＋x－b≤c，x－a＋x－b≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质a－b≤a±b≤a＋b3．基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab当且仅当a＝b时，等号成立．a＋b定理2：如果a、b为正数，则2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则成立．定理4：一般形式的算术－几何平均值不等式如果a1、a2、…、a
为
个正数，a1＋a2＋…＋a
则≥a1a2…a
，当且仅当a1＝a2＝…＝a
时，等号成立．
4．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．题型一含绝对值不等式的解法a＋b＋c33≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等号
【例1】设函数fx＝2x＋1－x－41解不等式fx＞2；2求函数y＝fx的最小值．
f解
1fx＝2x＋1－x－4＝13x－3－2≤x＜4，x＋5x≥4
－x－5
1x＜－2，
1当x＜－2时，由fx＝－x－5＞2得，x＜－7∴x＜－7；15当－2≤x＜4时，由fx＝3x－3＞2，得x＞3，5∴3＜x＜4；当x≥4时，由fx＝x＋5＞2，得x＞－3，∴x≥4
故原不等式的解集为
5xx＜－7或x＞3
2画出fx的图象如图：9∴fxmi
＝－2【变式1】设函数fx＝x－1＋x－a1若a＝－1，解不等式fx≥3；2如果x∈R，fx≥2，求a的取值范围．解1当a＝－1时，fx＝x－1＋x＋1，
－2x，x＜－1，fx＝2，－1≤x≤1，2x，x＞1
作出函数fx＝x－1＋x＋1的图象．
f33由图象可知，不等式的解集为xx≤－2或x≥2
2若a＝1，fx＝2x－1，不满足题设条件；
－2x＋a＋1，x≤a，若a＜1，fx＝1－a，a＜x＜1，2x－a＋1，x≥1，
fx的最小值为1－a
－2x＋a＋1，x≤1，若a＞1，fx＝a－1，1＜x＜a，2x－a＋1，x≥a，
fx的最小值为a－1∴对于x∈R，fx≥2的充要条件是a－1≥2，∴a的取值范围是－∞，－1∪3，＋∞．题型二不等式的证明
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【例2】证明下列不等式：1设a≥b＞0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2；2a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc；13a6＋8b6＋27c6≥2a2b2c2证明13a3＋2b3－3a2b＋2ab2＝3a2a－b－2b2a－b＝a－b3a2－2b2．r