晶格振动部分习题参考解答
9设有一双子链最近邻原子间的力常数为和10，两种原子质量相等，且最近邻距离为a2，求在q0q
a
处的q并定性画出色散曲线。
mm10mm____________________________________________________
a2a2




解：已知

2A

12
m

1m1m
1
2
22
21
2
cosqa
1
2
1

20

12
m

1
2
22
21
2
cosa
1
2
2
由题意
2＝101＝10
2A
代入（1）式
1
得

11m11m

1m

2
10020
12
2
cosqa
2
当q0时当q
a

m
10120cosqa20cosqa
a

m
11101
2A
1
2


m
q0
111101192m
时

2Aq

m
把210110代入（2）式得
0＝
2

m
11101
22m
20cosqa
1
2

时
当q0时

20q0
q

a

20q
a

20m
10设三维晶格的光学格波在q0的长波极限附近有iq0－Aq2（A0），求证光学波频
3s1
率分布函数格波密度函数为：g

i1
V4
2

0
iA
32
1
2
i0
g0证：由格波密度函数的定义已知，对一支格波在di区间格波数为
i0
fgidi
V2
3
idi

i
d
q
由题意可知在长波极限下等频率面为球面
则
gidi
V2
3
4qdq
2
当i0时因为
diq2A
12
q2＝
0－iq
A
q

0
iqA
dq－
0
V
iq
1
2
所以gi
2
3
4

0
A
i
2A
1
12

0
i
1

2
－
V
0
i
2
1
2
4
A
3
2
由模式密度的物理意义，取其绝对值而当i0时又因为所以A0因为i＝0－Aq2q20所以Aq20－i
因为q本身为实数即不存在i0的格波则则gi0
上式右边必满足0i
又因为三维晶体中共要有3（S－1）支光学格波所以光学波频率分布函数为：
3S3
gg0

i1
V
0
i
2
1
2
4
A
3
2
i
0
0
11．求一维单原子链的格波密度函数；若用德拜模型，计算系统的零点能。解：1设一维单原子链长L＝Na，a为原子间距，N为原子数，在－能取N个值，dq间距内的格波数为fqdq
N2adqNa2dqL2dq

a
q

a
区域内q只
色散关系为

4m
2m
si

qa2
1

2

1cosqa

2m
2
1cosqa
2
其中
m
4m

1
2
fr