平面几何基础知识教程（圆）一、几个重要定义
外心：三角形三边中垂线恰好交于一点，此点称为外心内心：三角形三内角平分线恰好交于一点，此点称为内心垂心：三角形三边上的高所在直线恰好交于一点，此点称为垂心凸四边形：四边形的所有对角线都在四边形ABCD内部的四边形称为凸四边形折四边形：有一双对边相交的四边形叫做折四边形（如下图）
（折四边形）二、圆内重要定理：
1．四点共圆定义：若四边形ABCD的四点同时共于一圆上，则称A，B，C，D四点共圆基本性质：若凸四边形ABCD是圆内接四边形，则其对角互补证明：略判定方法：1．定义法：若存在一点O使OAOBOCOD，则A，B，C，D四点共圆2．定理1：若凸四边形ABCD的对角互补，则此凸四边形ABCD有一外接圆证明：略特别地，当凸四边形ABCD中有一双对角都是90度时，此四边形有一外接圆3．视角定理：若折四边形ABCD中，ADBACB，则A，B，C，D四点共圆
f证明：如上图，连CD，AB，设AC与BD交于点P因为ADBACB，所以
ΔCPB∽ΔDPAPCPBPDPA再注意到CPDBPA所以有因此ΔCPD∽ΔBPA因此PCDPBA由此BCDBADBCAPCDBADBDAPBABAD180（ΔABD的内角和）因此A，B，C，D四点共圆
特别地，当ADBACB90时，四边形ABCD有一外接圆2．圆幂定理：圆幂定理是圆的相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理的统一形式。相交弦定理：P是圆内任一点，过P作圆的两弦AB，CD，则PAPBPCPD
证明：
f连AC，BD，则CABCDB（等弧对等圆周角）而APCDPB（对顶角相等）因此ΔAPC∽ΔDPB即PAPC，因此PAPBPCPDPDPB
（切）割线定理：P是圆外任意一点，过P任作圆的两割（切）线PAB，PCD，则
PAPBPCPD
证明方法与相交弦定理完全一样，可仿前。特别地，当C，D两点重合成为一点C’时，割线PCD变成为切线PC’而由割线定理，PAPBPCPDPC2，此时割线定理成为切割线定理而当B，A两点亦重合为一点A’时，由切割线定理PC2PAPBPA2因此有PC’PA’，此时切割线定理成为切线长定理现考虑割线与切线同时存在的情况，即切割线定理的情况：
f如图，PCD是圆的割线，PE是圆的切线设圆心为O，连PO，OE，则由切割线定理有：
PCPDPE2而注意到黄色Δ是RTΔ，由勾股定理有：
PE2PO2OE2，结合切割线定理，我们得到
PCPDPE2PO2OE2，这个结果表明，如果圆心O与P是确定的，那么
PC与PD之积也是唯一确r