§2矩阵的奇异值分解
定义设A是秩为r的m
复矩阵，ATA的特征值为
12rr1
0
则称iii12
为A的奇异值易见，零矩阵的奇异值都是零，矩阵A的奇异值的个数等于A的列
数，A的非零奇异值的个数等于其秩矩阵的奇异值具有如下性质：（1）A为正规矩阵时，A的奇异值是A的特征值的模；（2）A为半正定的Hermite矩阵时，A的奇异值是A的特征值；（3）若存在酉矩阵UCmmVC
，矩阵BCm
，使UAVB，
则称A和B酉等价酉等价的矩阵A和B有相同的奇异值
奇异值分解定理设A是秩为rr0的m
复矩阵，则存
在m阶酉矩阵U与
阶酉矩阵V，使得
UHAV

O
OO



①
其中diag12r，ii12r为矩阵A的全部非零奇
异值
证明设Hermite矩阵AHA的
个特征值按大小排列为
12rr1
0
则存在
阶酉矩阵V，使得
1
VHAHAV







2

O
OO
②
f将V分块为
VV1V2，
其中V1，V2分别是V的前r列与后
r列并改写②式为
则有
AHAV
V
2

O
OO

AHAV1V12，AHAV2O
③
由③的第一式可得
V1HAHAV12，或者AV1HAV1Er由③的第二式可得
AV2HAV2O或者AV2O
令U1AV11，则U1HU1Er，即U1的r个列是两两正交的单位向
量记作U1u1u2ur，因此可将u1u2ur扩充成Cm的标准正交基，记增添的向量为ur1um，并构造矩阵U2ur1um，则
UU1U2u1u2urur1um
是m阶酉矩阵且有于是可得
U1HU1Er，U2HU1O
UHAV
UHAV1，AV2

UU12HH

U1，O

O
OO

由①式可得
A

U
O
OO
V
H
1u1v1H
2u2v2H

rurvrH
④
称④式为矩阵A的奇异值分解
值得注意的是：在奇异值分解中u1u2urur1um是AAH的特征
向量，而V的列向量是AHA的特征向量，并且AAH与AHA的非零特征值
f完全相同但矩阵A的奇异值分解不惟一
证明2设Hermite矩阵AHA的
个特征值按大小排列为
12rr1
0
则存在
阶酉矩阵V，使得
1
VHAHAV







2

O
OO
②
将V分块为Vv1v2v
，它的
个列v1v2v
是对应于特征值
12
的标准正交的特征向量
为了得到酉矩阵U，首先考察Cm中的向量组Av1Av2Avr，由于当
i不等于j时有
AviAvjAvjHAvivjHAHAvivjHiviivjHvi0
所以向量组Av1Av2Avr是Cm中的正交向量组
又

Avi
2viHAHAvi

iviHvi


2i
，
所以
Aviii
令ui
1i
Avi
，i
12
r，则得到Cm中的标准正交向量组u1u2
ur，
把它扩充成为Cm中的标准正交基u1urur1um，令
Uu1r