高等数学教案
§3
中值定理与导数的应用
第三章
教学目的：1、2、3、
中值定理与导数的应用
4、5、6、教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。§1中值定理3一、罗尔定理
理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。知道方程近似解的二分法及切线性。
费马引理设函数fx在点x0的某邻域Ux0内有定义并且在x0处可导如果对任意xUx0有fxfx0或fxfx0那么fx00罗尔定理如果函数yfx在闭区间ab上连续在开区间ab内可导且有fafb那么在ab内至少在一点使得f0简要证明1如果fx是常函数则fx0定理的结论显然成立2如果fx不是常函数则fx在ab内至少有一个最大值点或最小值点不妨设有一最大值点ab于是
fflimfflim
x
x
fxf0xfxf0x
重庆三峡学院高等数学课程建设组
f高等数学教案
§3
中值定理与导数的应用
所以fx0罗尔定理的几何意义二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数fx在闭区间ab上连续在开区间ab内可导那么在ab内至少有一点ab使得等式fbfafba成立拉格朗日中值定理的几何意义f定理的证明引进辅函数令xfxfa
fbfaba
fbfaxaba
容易验证函数fx适合罗尔定理的条件ab0x在闭区间ab上连续在开区间ab内可导且
xfx
fbfaba
根据罗尔定理可知在开区间ab内至少有一点使0即f由此得
fbfa0ba
fbfafba
即fbfafbr