微积分
第一章、第一章、极限与连续
一、数列的极限1．数列定义：按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数
x1Kx
L叫数列数列，记作x
，并吧每个数叫做数列的项，第
个数叫做数列数列项数列
的第
项或通项通项界的概念：一个数列x
，若M0，st对
∈N，都有x
≤M，则称x
是有界的有界的：有界的若不论M有多大，总m∈N，stxmM，则称x
是无界的无界的若a≤x
≤b，则a称为x
的下界b称为x
的上界下界，下界上界有界的充要条件：x
有界的充要条件：x
既有上界，又有下界2．数列极限的概念定义：设x
为一个数列，a为一个常数，若对ε0，总Nst当
N时，有
x
aε
则称a是数列x
的极限极限，记作limx
a或x
→a
→∞极限
→∞
数列有极限时，称该数列为收敛收敛的，否则为发散发散的收敛发散几何意义：从第N1项开始，x
的所有项全部落在点a的ε邻域aεaε3．数列极限的性质①唯一性②收敛必有界二、函数的极限1定义：两种情形③保号性：极限大小关系数列大小关系
N时）（
①x→x0：设fx在点x0处的某去心邻域内有定义，A为常数，若对ε0，
δ0，st当0xx0δ时，恒有fxAε成立，则称fx在x→x0时有
极限A记作limfxA或fx→Ax→x0
x→x0
f几何意义：对ε0，δ0，st当0xx0δ时，fx介于两直线yA±ε几何意义单侧极限：设fx在点x0处的右侧某邻域内有定义，A为常数，若对ε0，单侧极限
δ0，t当0xx0δ时，s恒有fxAε成立，fx在x0处有右极限A，称
记作limfxA或fx0A
x→x0
x→x0
limfxA的充要条件充要条件为：fx0fx0A充要条件
垂直渐近线：垂直渐近线：当limfx∞时，xx0为fx在x0处的渐近线
x→x0
②x→∞：设函数fx在x≥b≥0上有定义，A为常数，若对ε0，Xbst当xX时，有fxAε成立，则称fx在x→∞时有极限A，记作极限
limfxA或fx→Ax→∞
x→∞
limfxA的充要条件充要条件为：limfxlimfxA充要条件
x→∞x→∞x→∞
水平渐进线水平渐进线：若limfxA或limfxA，则yA是fx的水平渐近线进线
x→∞x→∞
2函数极限的性质：①唯一性②局部有界性③局部保号性（②③在当0xx0r