全国高中数学联赛模拟试题（七）
第一试
一、选择题：（每小题6分，共36分）
1、a、b是异面直线，直线c与a所成的角等于c与b所成的角，则这样的直线c有（A）1条（B）2条（C）3条（D）无数条2、已知fx是R上的奇函数，gx是R上的偶函数，若fxgxx22x3，则fxgx2222（A）x2x3（B）x2x3（C）x2x3（D）x2x323、已知△ABC，O为△ABC内一点，∠AOB∠BOC∠COA，则使ABBCCA3≥mAOBOCO成立的m的最大值是（A）2（B）
53
2e21，求实数m的取值范围．3四、（20分）a、b、c均为实数，a≠b，b≠c，c≠a．ab2cbc2aca2b3证明：≤＜2．2abbcca
Mm0．当椭圆的离心率e满足
五、（20分）
已知fxax4bx3cx2dx，满足（i）a、b、c、d均大于0；（ii）对于任一个x∈21012，fx为整数；（iii）f11f570．试说明，对于每个整数x，fx是否为整数．
第二试
一、（50分）设K为△ABC的内心，点C1、B1分别为边AB、AC的中点，直线AC与
C1K交于点B2，直线AB于B1K交于点C2．若△AB2C2于△ABC的面积相等，试求∠CAB．二、（50分）设wcosisi
，fxxwxw3xw7xw9．55求证：fx为一整系数多项式，且fx不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积．三、（50分）在圆上有21个点．求在以这些点为端点组成的所有的弧中，不超过120°的弧的条数的最小值．
（C）3
（D）
32
4、设x08205，ysi
1，zlog37则x、y、z的大小关系是（A）x＜y＜z（B）y＜z＜x（C）z＜x＜y（D）z＜y＜x（C）00（D）20
1019955、整数95的末尾两位数字是（A）10103
（B）01
6、设ab表示两自然数a、b的最大公约数．设ab1，则a2b2a3b3为（A）1（B）2（C）1或2（D）可能大于2
参考答案
第一试
一、选择题：题号答案二、填空题：1D2A3C4B4、5C
5；5、16；24
二、填空题：（每小题9分，共54分）
1、若fxx2x2x2xx3x6x1，则f21
1098762
．
2、设F1、F2是双曲线x2y24的两个焦点，P是双曲线上任意一点，从F1引∠F1PF2平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹方程是．3、给定数列x
，x11，且x
1
3x
13x

6C6、5．
1、4；2、x2y24；3、0；
，则x1999x601
．
32三、14．四、证略．五、是．第二试一、60°；二、证略．三、100．
4、正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E是CD中点，F是BB1中点，则四面体AD1EF的体积是．
yr