＋by22＝1a＞b＞0的离心率为22，点21在椭圆C上．1求椭圆C的方程；2设直线l与圆O：x2＋y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；②求证：OP⊥OQ
思路分析
1
由e＝ca＝
22，得
a∶b∶c＝
2∶1∶1，用b表示a更方便；
第2页共24页
f2①设直线l的方程为y＝kx－3，由直线l与圆O相切可先求出k，再求出PQ的长即可．②设l：y＝kx＋m，则只要证O→PO→Q＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋kx1＋mkx2＋m＝0联列直线与椭圆方程可得x1＋x2，x1x2均可用k，m表示．由直线l与圆O相切，可得k与m的关系式．
规范解答1由题意，得ac＝22，a42＋b12＝1，解得a2＝6，b2＝3
所以椭圆的方程为x62＋y32＝12分
2①解法1椭圆C的右焦点F3，0．
设切线方程为y＝kx－3，即kx－y－3k＝0，
所以－3k＝k2＋1
2，解得k＝±
2，所以切线方程为y＝±
2x－
3．当k＝
2时，4分
y＝2x－3，由方程组x62＋y32＝1，
x＝4
3＋35
2，
解得y＝－
6＋65
x＝4
3－35
2，
或y＝－
6－65
所以点P，Q的坐标分别为4
3＋35
2，－
56＋6，4
3－35
2，－
56－6，
所以PQ＝6566分
因为O到直线PQ的距离为
2，所以△OPQ
的面积为6
5
3
因为椭圆的对称性，当切线方程为y＝－
2x－
3时，△OPQ
的面积也为6
5
3
综上所述，△OPQ
的面积为6
5
38
分
解法2椭圆C的右焦点F3，0．
设切线方程为y＝kx－3，即kx－y－3k＝0，
所以－3k＝k2＋1
2，解得k＝±
2，所以切线方程为y＝±
2x－
3．当k＝
2时，4分
把切线方程y＝2x－3代入椭圆C的方程，消去y得5x2－83x＋6＝0
设
Px1，y1，Qx2，y2，则有
x1＋x2＝8
5
3
由椭圆定义可得，PQ＝PF＋FQ＝2a－ex1＋x2＝2×
6－
22×8
5
3＝65
66
分
第3页共24页
f因为O到直线PQ的距离为
2，所以△OPQ
的面积为6
5
3
因为椭圆的对称性，当切线方程为y＝－
2x－
3时，△OPQ
的面积为6
5
3
综上所述，△OPQ
的面积为6
5
38
分
②解法1i若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x＝2或x＝－2
当x＝2时，P2，2，Q2，－2．因为O→PO→Q＝0，所以OP⊥OQ
当x＝－2时，同理可得OP⊥OQ10分
ii若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0
因为直线与圆相切，所以
m＝1＋k2
2，即m2＝2k2＋2
将直线PQ方程代入椭圆方程，得1＋2k2x2＋4kmx＋2m2－6＝0
设Px1，y1，Qx2，y2，则有x1＋x2＝－1＋4km2k2，x1x2＝21m＋2－2k6212分
因为O→PO→Q＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋kx1＋mkx2＋m＝1＋k2x1x2＋kmxr