2013年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及答案
一、填空题（每小题8分，满分64分）1、已知si
coscossi
2，则si
2cos2_______解：0或已知两式平方相加，得si
0或cos2
2
32
14
3si
2cos22si
20或2
2、不等式x6x2x23x2的解集为_________解：12原不等式等价于xxx2x2
623
设fxxx，则fx在R上单调增
3
所以，原不等式等价于fxfx2xx2x1或x2
22
3、已知

表示不超过x的最大整数，设方程
2
12012xx的两2013
个不同实数解为x1x2，则2013x1x2__________解：2011
11101，所以2012x11x20132012201211当x0时，原方程即2012x1x20132x12012；2012201311当0x时，原方程即2012xx20132x2120122013
由于x014、在平面直角坐标系中，设点AxyxyN，一只虫子从原点O出发，沿x轴

正方向或y轴正方向爬行（该虫子只能在整点处改变爬行方向），到达终点A的不同路线数目记为fxy则f
2_______解：
1
1
22111f12323f22634f3210452221
1
2，可归纳证明2
猜测f
2
5、将一只小球放入一个长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点P到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径为___________解：3或11
f分别以三个面两两的交线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系设点P坐标为455，小球圆心O坐标为rrr
222所以，r4r5r5rr3或11
6、将
2013
1表示成两个
N型分数的乘积的不同方法数是________（其中2012

ab与ba是同一种表示方法）
解：24设pq是正整数，满足
2013p1q120122013p20122012pqq2012
201220132231161503的正因数的个数为1211448注意到pqpq与qp是相同的表示方法，故所求的方法数为24
7、设E为正方形ABCD边AB的中点，分别在边AD、BC上任取两点P、Q，则∠PEQ为锐角的概率为__________解：
设正方形边长为1，APxBQy则EPEQEAAPEBBQEAEBAPBQxy从而，xy
3l
44


r