一、一元二次方程及其解法解题技巧
类型一巧用一元二次方程的定义解题【例1】若关于x的方程是一元二次方程,则_______.
【解析】一元二次方程的定义中包含三要素:1只含有一个未知数;2未知数的最高次数为2;3
整式方程.依题意,得【答案】
,解得
;
【小结】有关一元二次方程的概念,要把握住未知数的最高次数为2,且二次项的系数不为0,还要是整式方程类型二巧用一元二次方程的根的意义解题【例2】关于的一元二次方程的一个根是0,则即可得到关于,即的值是________.的一元二次方程.
【解析】把0代入一元二次方程,从而求得.但二次项的系数【答案】
,所以
【小结】将已知的一元二次方程的根代入该方程中即可求出字母系数的值,但要注意二次项系数不为零这一隐含条件.【例3】已知值等于()A.-5【解析】由于m、
是方程B.5C.-9D.9是方程的两根,且,则的
的根,将m、
代入该方程可得m2-2m10,
2-2
-1
0,即m2-2m1,
2-2
1.变形,得7m2-14m7,3
2-6
3,因此7a3-78,所以a-9.【答案】C【小结】从方程的根入手,将其根代入方程,进而构造出一个新的方程.在解本题的过程中,还应用了整体的思想,同时要注意把握条件与结论之间的关系,即括号中的7m2-14m、3
2-6
与已知方程之间的关系.从而使问题得到快速求解.类型三巧构一元二次方程的根
f【例4】已知一元二次方程该方程的一根必为________.【解析】结合一元二次方程根的定义,当
(
为常数)满足
,则
时,满足方程左、右两边都相等,由此判断方程的.
一根必为x【答案】x
【小结】估算一元二次方程的根时,应结合根的意义,通过观察,比较得出.类型四判断一元二次方程根的范围【例5】根据下列表格中的对应值,判断方程个解617的范围是(618)619620(为常数)的一
A.C.【解析】由表格中的数据发现:当x618时,代数式代数式的值为002,要从表格中判断18到619之间.【答案】C
B.D.的值为-001;当x619时,0的解,可发现未知数x的值应处于6
【小结】解决本题的关键在于理解根的意义,使方程左右两边相等的未知数的值就是该方程的解.类型五与一元二次方程的根有关的开放题【例6】已知关于的一元二次方程的一个根是1,写出一个符合条件的方程:____________.【解析】答案不唯一,可先写出二次项,再写出一次项,最后写能使该方程有一根为1的常数项.【答案】答案不唯一,如:即等.
二、实际问题与一元二次方程r