初中数学竞赛：因式分解
【内容提要和例题】我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介两种方法1．添项、拆项。为了分组后能运用公式（包括配方）或提公因式例1因式分解：①x4x21②a3b3c3－3abc①分析：x41若添上2x2可配成完全平方公式解：x4x21＝x42x21－x2x212－x2x21xx21－x②分析：a3b3要配成（ab）3应添上两项3a2b3ab2解：a3b3c3－3abc＝a33a2b3ab2＋b3c3－3abc－3a2b－3ab2
＝（ab）3c3－3ababcabc［ab2－abcc2］－3ababc
abca2b2c2－ab－ac－bc
例2因式分解：①x3－11x20②a5a1①分析：把中项－11x拆成－16x5x分别与x520组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数）②解：x3－11x20＝x3－16x5x20＝x（x2－16）5x4xx4x－45x4x4x2－4x5③分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5a1＝a5－a2a2a1a2a3－1a2a1a2a－1a2a1a2a1a2a1a3－a21
2．运用因式定理和待定系数法定理：⑴若xa时，fx0［即fa0］，则多项式fx有一次因式x－a⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。例3因式分解：①x3－5x29x－6②2x3－13x23
f①分析：以x±1±2±3±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到
一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。解：∵x2时，x3－5x29x－6＝0，∴原式有一次因式x－2，∴x3－5x29x－6＝（x－2）（x2－3x3）
②分析：用最高次项的系数2的约数±1，±2分别去除常数项3的约数
±1，±3得商±1，±2，±1，±3，再分别以这些商代入原式求值，22
可知只有当x1时，原式值为0。故可知有因式2x12
解：∵x1时，2x3－13x23＝0，∴原式有一次因式2x－1，2
设2x3－13x23＝（2x－1）（x2ax－3），（a是待定系数）比较右边和左边x2的系数得2a－1＝－13，a－6∴2x3－13x3＝（2x－1）（x2－6x－3）。例4因式分解2x23xy－9y214x－3y20解：∵2x23xy－9y2＝（2x－3y）x3y用待定系数法，可设2x23xy－9y214x－3y20＝（2x－3y＋a）（x3y＋b），ab是待定的系数，
比较右边和左边的x和y两项的系数，得
a2b143a3b3
解得a4b5
∴2x23xy－9y214x－3y20＝（2x－3y4）x3y5
又解：原式＝2x23y14x－9y23y－20这是关于x的二次三项式
常数项可分解为－（3y－4）（3y5）用待定系数法，可设
2x23y14x－9y23y－20＝［mx－（3y－4）］［
x（3y5）］
比较左、右两边的x2和x项的系数，得m2
1
∴2x23xy－9y214x－3y20＝（2x－3y4）x3y5
r