2015年全国高中数学联赛天津赛区预赛
一、选择题（每小题6分，共36分）
1．设A、B、C为三个集合．则“B、C均为A的子集”是“ABACBC成
立”的（
）条件．
（A）充分不必要（B）必要不充分（C）充分必要（D）既不充分也不必要
2．方程y12xx2表示的曲线为（
）
（A）一个圆（B）两个半圆（C）一个椭圆
（D）以上结论均不对
3．用x表示不超过实数x的最大整数．则方程x2x10共有（
）个不同的
实根．（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
4．方程3x5x7x11x共有（
）个不同的实根．
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
5．在正方体的十二条面对角线和四条体对角线中随机地选取两条对角线．则这两条对角线
所在的直线为异面直线的概率等于（
）
（A）730
（B）920
（C）715
6．设△ABC的周长为12，内切圆半径为1则（
（D）以上结果均不对）
（A）△ABC必为直角三角形
（B）△ABC必为锐角三角形
（C）△ABC必为直角三角形或锐角三角形（D）以上结论均不对
二、填空题（每小题9分，共54分）
7．在正四棱锥PABCD中，四个侧面均为等边三角形，设该四棱锥的侧面与底面所成的二
面角的大小为，则ta

8．设
A

、
B

分别为等差数列a
、b

的前项之和．若
A
B


5
3，则a8

9
b8

9．设O为原点，A为抛物线x1y21上的动点，B为抛物线yx24上的动点．则4
△OAB面积的最小值为
2015
10．设sk2k．则s除以100的余数为k1
11．设复数z
cos47
isi
47
．则z1z2
z21z4
z31z6
的值为
字作答）
12．设a、b、c、d均为实数，满足a2b3c4d10．
（用数
则a2b2c2d2abcd2的最小值为
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f三、解答题（每小题20分，共60分）
13．设fxx12．证明：对任意的x21，有2ffxx．
x
2
2
14．已知正△ABC内接于抛物线xy2，△ABC的重心P落在双曲线xy1上．求点P的
坐标．
15．设a1
1，a2
8，a
1

a
1

4
a


23…）．
证明：（1）存在常数C0，使得对任意正整数
，有a
C
2．
（2）对任意正整数
，有a
1a
4
3．
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f2015年全国高中数学联赛天津赛区预赛
一、选择题CBCBBD二、填空题
参考答案
7．2；8．3；9．2；10．6；11．2；12．1．
三、解答题
13．因为当x01时，有
fx1
1x2
0，所以，fx在区间01上严格单调递减．
于是，对任意的x21，有22f1fxf22．……………5分
2
22
再由fx在r