的方程为4412121xxxxxy∴1421
xxxy显然直线MN过点106、江西省五校2008届高三开学联考已知圆
MPNyxM为圆点定点0536522上的动点点Q在NP上点G在MP上且满足02NPGQNQNP
I求点G的轨迹C的方程
II过点20作直线l与曲线C交于A、B两点O是坐标原点设OBOAOS
是否存在这样的直线l使四边形OASB的对角线相等即OSAB若存在求出直线l的方程若不存在试说明理由
解1
02PNGQNQNPQ为PN的中点且GQ⊥PNGQ为PN的中垂线PGGN
∴GNGMMP6故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆其长半轴长3a半焦距5c∴短半轴长b2∴点G的轨迹方程是14
92
2yx………5分2因为OBOAOS所以四边形OASB为平行四边形
若存在l使得OSAB则四边形OASB为矩形0∴OBOA若l的斜率不存在直线l的方程为x2由
±3522149222yxyxx得
00916∴OBOAOBOA与矛盾故l的斜率存在………7分设l的方程为22211yxByxAxky
f
01363649149
2222222
kxkxkyxxky由
4
9
13649362
2212221∴kkxxkkxx①
222121xkxkyy
4
9204222
21212
kkxxxxk②……………9分
把①、②代入2
302121±
kyyxx得
∴存在直线06230623yxyxl或使得四边形OASB的对角线相等
7、安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试已知椭圆C的中心在原点焦点在x轴上它的一个顶点恰好是抛物线y
41x2
的焦点离心率等于5
521求椭圆C的方程
2过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点交y轴于M点若MAλ1AFMBλ2BF求证λ1λ2为定值
解I设椭圆C的方程为0122
22bab
yax则由题意知b1
5552115522
2
222∴∴aa
aba即∴椭圆C的方程为15
22
yx…………………………………………………5分II方法一设A、B、M点的坐标分别为002211yMyxByxA
易知F点的坐标为20
f分
8
11221
0111
11110111λλλλλ∴∴yyxyxyyxAFMA
将A点坐标代入到椭圆方程中得1112
5121
02
11λλλy
去分母整理得055102
0121yλλ…………………………………………10分
05510
055102
2
212
02222的两个根是方程可得由同理∴yxxyBFMBλλλλλ
1021∴λλ…………………………………………………………12分
方法二设A、B、M点的坐标分别为002211yMyxByxA又易知F点的坐标为20
显然直线l存在的斜率设直线l的斜率为k则直线l的方程是2xky
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中消去y并整理得
052020512222r