专题13：圆锥曲线难点专项研究
问题归类篇
类型一：圆的轨迹问题
一、高考回顾1（08年高考题）满足条件AB＝2AC＝2BC的三角形ABC的面积的最大值是．答案：22解：因为AB2（定长），可以以AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则A－1，0，B1，0，设Cx，y，由AC＝2BC可得x＋12＋y2＝2x－12＋y2，化简得x－32＋y2＝8，即C1在以（3，0）为圆心，22为半径的圆上运动。又SΔABC＝AByc＝yc≤22。22（13年高考题）．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A0，3，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．1若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；2若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．答案：1y＝3或3x＋4y－12＝0；122a的取值范围为0，5解：（1）由题设点Ca，2a－4，又C也在直线y＝x－1上，∴2a－4＝a－1，∴a＝3∴⊙Cx－32＋y－22＝1，由题，过A点切线方程可设为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，则33得：k＝0，－，∴所求切线为y＝3或y＝－x＋344（2）设点Ca，2a－4，Mx0，y0，∵MA＝2MO，A0，3，O0，0，∴x02＋y0－32＝4x02＋y02，即x02＋y02＝3－2y0，又点M在圆C上，∴x0－a2＋y0－2a＋42＝1，两式相减得5a2a2＋2a－32a－4－－8a＋925aax0＋2a－3y0－－8a＋9＝0，由题以上两式有公共点，∴≤122a＋2a－32
2
yAO
B
l
x
3k＋1
＝1，解k2＋1
5a2整理得：－6a＋3≤5a2－12a＋9，即5a2－12a＋62≤45a2－12a＋9，令t＝5a2－12a＋6，则212t2≤4t＋3，解得：－2≤t≤6，∴－2≤5a2－12a＋6≤6，解得：0≤a≤．5→→3（17年高考题）在平面直角坐标系xOy中A－12，0，B0，6，点P在圆Ox2＋y2＝50上若PAPB≤20，则点P的横坐标的取值范围是答案：－52，1二、方法联想1阿波罗尼斯圆PA结论1：已知平面上两定点A、B，则所有满足＝kk＞0且k≠1的点P的轨迹是一个圆．PB2向量数量积圆
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f→→m2结论2：已知平面上两定点A、B，且AB＝m，则所有满足PAPB＝λλ＋＞0的点P的轨迹是一个4圆．→→→→→→→→→m2推导方法1：取AB中点M，PAPB＝PM＋MAPM＋MB＝PM2－MA2＝PM2－＝λ，所以4→m2PM2＝＋λ4推导方法2：建系设点法3距离平方圆结论3：已知平面上两定点A、B，且AB＝m，则所有满足PA2＋PB2＝λ轨迹是一个圆．推导方法1：建系设点法推导方法2：取AB中点M利用余弦定理代入cos∠PMA＝－cos∠PMB化简得PM2＝λm2－24λm2其中－＞0r