讲授内容讲授内容§21导数概念
教学目的与要求教学目的与要求1理解导数的定义以及它的几何意义2掌握函数连续与导数存在的关系导数存在与左右导数存在的关系3会求分段函数在分段点处的导数教学重难点教学重难点重点导数的定义导数存在与左右导数的关系难点分段函数在分段点处导数的求法用定义求抽象函数的导数教学方法教学方法讲授法教学建议教学建议借助速度和切线的实例引入导数的定义学时学时3学时
上一章我们讨论了函数的极限和连续在此基础上本章将更进一步的研究函数值的变化快慢即函数的导数它是讨论函数特性的基本工具一引例引例
1直线运动的速度设某质点在数轴上的运动方程为sft位置函数则从时刻t0到时刻t的平均
速度为
ss0ftft0tt0tt0ftft0…………Att0
当t→t0时则有即时速度瞬时速度为vlim
t→t0
2切线问题切线设有曲线C及C上的一点M在点M外另取C上的一点N作割线切线MN当点N沿曲线C趋于点M时如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT则直线MT称为曲线C在点M处的切线即只要弦长MN趋于零则∠NMT趋
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f于零设曲线C的方程为yfxMx0y0为曲线C上的一点则y0fx0在曲线C上取点Nxy则割线MN的斜率为
ta
φ
yy0fxfx0xx0xx0fxfx0…………B存在设为xx0
当点N→M时x→x0如果极限lim
x→x0
k则称此极限为切线的斜率其中kta
αα为切线MT的倾角切线的斜率切线的斜率
说明两个问题的共性所求量为函数增量与自变量增量的比值极限都是讨论函数的变化率类似的加速度速度增量与时间增量的比值的极限角速度转角增量与时间增量的比值的极限线密度质量增量与长度增量的比值的极限问题B两式对较复杂的函数求出一具体的值是很不方便为寻求解决此类A问题的简便方法给出如下导数的定义二导数的定义导数的定义1导数的定义导数的定义定义设函数yfx在点x0的某个邻域内有定义当自变量x在x0处取得增量x点x0x在该邻域内时相应函数取得增量yfxx0fx0如果极限
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fx→0
fx0xfx0limylim
x
x→0
x
存在则称此极限为函数yfx在点x0处的导数记为
f′x0lim
x→0
fx0xfx0…………x
y′
其它记号
dydx
xx0

dfxdx
xx0
xx0
导数定义的其它形式
f′x0lim
x→x0
fxfx0fx0hfx0或f′x0limh→0xx0h
说明1比值
fxfx0是r