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2017年全国高中数学联赛模拟题1
一试
考试时间上午8：009：20，共80分钟，满分120分一、填空题（共8题，每题8分，64分）
1、已知函数
y

2x2x2
bx1
c
b

0的值域为13，则b

c

2、已知aR并且a22x2xaa0，则a的取值范围是3、设在xOy平面上，0yx2，0x1所围成图形的面积为1，则集合
3Mxyyx1Nxyyx21的交集MN所表示的图形面积为
4、fxx22x2x23x3的最小值为5、已知复数zcosisi
，ucosisi
，且zu43i则ta
55
＝
6、过椭圆C：x2y21上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH32
到点Q，使HQλPHλ≥1。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为
7、设x表示不超过x的最大整数，则log31log32log33log3500
8、设p是给定的奇质数，正整数k使得k2pk也是一个正整数，则k____________
二、解答题（共3题，共56分）
9、（本题16分）在△ABC中，ABC所对边分别为abc，且c10cosAb4，PcosBa3
为△ABC的内切圆上的动点，求点P到ABC的距离的平方和的最大值和最小值
10、（本题20分）数列a
中，a18a42且满足a
22a
1a
N（1）求
数列a
的通项公式；（2）设b


12
1
a




T


b1
b2
b

N，是否存在最
大的正整数m
，使得对于任意的

N均有T


m32
成立？若存在，求出m
的值；若不
存在，请说明理由。
11、（本题20分）给定圆Px2y22x及抛物线Sy24x过圆心P作直线l此直
线与上述两曲线的四个交点自上而下顺次记为ABCD如果线段ABBCCD的长按
此顺序构成一个等差数列求直线l的方程
1
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2017年全国高中数学联赛模拟题1
（二试）
9：4012：10共150分钟满分180分平面几何、代数、数论、组合
1、（本题40分）联结圆内接等腰梯形ABCD的对角线ACBD相交于E，已知图中各条线段均为正整数，且AED2ABD2ACD120AD71求证图中存在一个三角形，其三边长均为素数且组成一个等差数列2若给点AED染上红
色，圆面上的其它点任意染上红蓝色之一，求证圆面上存在一个同色等边三角形，其边长为素数
2、（本题40分）已知实函数fxy满足①fx01r