习题三
1将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值试写出X和Y的联合分布律【解】X和Y的联合分布律如表：
XY
00
1
2
3
13
C13
0
11132228
2C3
11138222
0
18
0
11112228
2盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数求X和Y的联合分布律【解】X和Y的联合分布律如表：
XY
00
10
2
22C3C234C73521C3C1122C24C73522C3C234C735
3
1C323C24C7351C323C24C735
0
1
0
12C163C2C24C73521C163C2C24C735
2
P0黑2红2白
24C22C2C7
0
135
3设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
ππsi
xsi
y0x0yF（x，y）22其他0
求二维随机变量（X，Y）在长方形域0x【解】如图P0X

πππy内的概率463
πππY公式32463ππππππFFF0F0434636
1
fsi

ππππππsi
si
si
si
0si
si
0si
434636
2314
题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4设随机变量（X，Y）的分布密度
Ae3x4yx0y0f（x，y）其他0
求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P0≤X1，0≤Y2【解】（1）由





fxydxdy

0


0
Ae3x4ydxdy
A112
得A12（2）由定义，有
Fxy
y


x
fuvdudv
yy3u4vdudv1e3x1e4y0012e00
y0x0其他
3P0X10Y2
P0X10Y2
100
12e
2
3x4y
dxdy1e31e809499
5设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）（1）确定常数k；（2）求PX＜1，Y＜3；（3）求PX15；（4）求PXY≤4【解】（1）由性质有
k6xy0x22y4其他0
2
f




fxydxdy
2
0

4
2
k6xydydx8k1
故
R
18
（2）PX1Y3

10
1
3

fxydydx

3PX15
x15

13k6xydydx88fxydxdy如图afxydxdy

3
2
D1
dx
0
15
4PXY4
XY42

1276xyr