函数yfx在以x0和x0x为端点的区间上的平均平均xx0
变化率瞬时变化率点x0处的变化率导数即是函数的平均变化率的极限值变化率
2极限lim
x→0
fx0xfx0不存在时称函数在点x0处不可导注意当x
此极限为∞时当然是不可导但我们仍然说函数在该此处的导数为∞3注意中左右两端x0的一致性分子分母中x的一致性x→0是
左右两侧连续的趋向0如换成
1
→∞不可

4当函数yfx在开区间I内的每一点都可导时则对于任意x∈I就有一确定的导数值从而构成一个新的函数称此函数为原函数yfx的导函数简称导数记为
y′f′x
dydfxfxxfxfxhfxlimlimx→0h→0dxdxxh
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f5f′x0≠fx0′6由引例知vt0s′t0ta
αf′x07因导数是用极限定义的于是在利用导数的定义求导数时求极限的所有方法在此均可以使用2左右导数左右导数
f′x0lim
x→0
fx0xfx0存在x
称为函数fx在点x0处的左导数左导数左导数
f′x0lim
x→0
fx0xfx0存在x
称为函数fx在点x0处的右导数右导数右导数函数yfx在x0处可导的充要条件为左右导数存在并相等即f′x0存在f′x0f′x0
函数fx在闭区间ab内可导即指在开区间ab内可导且f′a和f′b都存在求导例子三求导例子用定义求函数的导数的步骤1求函数的增量2求函数增量与自变量增量的比值3求比值的极限1C′02x′x1为常数3si
x′cosx4ax′axl
a特别有ex′ex
5l
x′1x或logax′1xl
a下面为分段函数在分段点处导数的求法的例子须用结论
第二章第4页
ff′x0存在

f′x0f′x0
例21求函数fxx在x0处的导数
解f′0lim
x→0
fx0xfx0fxf0xlimlim1x→0x→0xxx
f′0lim
x→0
fx0xfx0fxf0xlimlim1x→0x→0xxx
因此函数在fxx在x0处的导数不存在
处的可导性怎样注fxxx在x0处的可导性怎样在
由于f′0≠f′0
2已知fx
x2x≥0xx0
求f′0和f′0并确定f′0是否存在
解f′0lim
x→0
f0xf0fxf0x2limlim0x→0x→0xxx
f′0lim
x→0
fx0xfx0fxf0xlimlim1x→0x→0xxx
因为f′0≠f′0所以f′0不存在
3已知fx
si
xx0求f′xxx≥0fxf0xlim1x→0xxfxf0si
xlim1x→0xx
解f′0lim
xr