布函数，EX其数学期望，则
0其他
4
fPFXEX1
．
【答案】23
0x0
【详解】Fx

PX

x
1

4
x2
0

x

2
，
EX

2x2dx4．
02
3
1x2
PFXEX1PFX1PX21
23
x
dx

2
3
3
02
3
三、解答题
15．（本题满分10分）
设函数
yx是微分方程
y
xy

x2
e2
满足条件
y0

0
的特解．
（1）求yx；（2）求曲线yyx的凸凹区间及拐点．
【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程．
先求解对应的线性齐次方程
y
xy

0的通解：
y

x2
Ce2
，其中C
为任意常数；
x2
x2
x2
x2
再用常数变易法求yxye2通解，设yCxe2为其解，代入方程，得Cxe2e2Cx1，
x2
Cx1dxxC1，也就是通解为：yxC1e2
把初始条件
y0

0
代入，得C1

0
，从而得到
yx

x2
xe2

（2）
yx


xe
x22

yx


e
x22
1
x2

y
x


x3


3xe
x22

xx
3x
x2
3e2
令yx0得x13x20x33．
当x3或0x3时，y0，是曲线的凸区间；
当3x0或x3时，y0，是曲线的凹区间．
3
3
曲线的拐点有三个，分别为33e20033e2．
16．（本题满分10分）设ab为实数，函数z2ax2by2在点34处的方向导数中，沿方向l3i4j的方向导数最大，最大值为10．（1）求常数ab之值；（2）求曲面z2ax2by2z0的面积．
【详解】（1）z2ax2by2，则z2axz2by；
x
y
5
f所以函数在点34处的梯度为
gradf
34

zzxy
34
6a8b
；
gradf

36a264b2．
由条件可知梯度与l3i4j方向相同，且gradf36a264b210．
也就得到
6a

3

8b4
36a264b2

10
解出
ab

11
或
ab

11
（舍）．即
ab

11
．
（2）SdS
14x24y2dxdy
2
d
214r2rdr13．
S
x2y22
0
0
3
17．（本题满分10分）求曲线yexsi
xx0与x轴之间形成图形的面积．
【详解】先求曲线与x轴的交点：令exsi
x0得xkk012
当2kx2k1时，yexsi
x0；当2kx2k2时，yexsi
x0．
由不定积分exsi
xdx1exsi
xcosxC可得2
2kexsi
xdx1e2k1e，2k2exsi
xdx1e2k1e
2k
2
2k
2
所求面积为
Sexsi
xdx2kexsi
xdx2k2exsi
xdx
0
2k
2k
k0
k0
1e2k1e1e2k1e
k02
k02

12
k0
e2k
1e
2

12
1e
2
11e2

12
11
ee
18．（本题满分10分）设a

1x
0
1x2dx

012

（1）证明：数列a
单调减少，且
a


1
2
a
2

23
；（2）求极限lima
．a

1
【详解】（1）证明：a

1x
0
1x2dx
，a
1
x1
1
0
1xr