课题§1．1．1正弦定理
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定
理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观
察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学
规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍
联系与辩证统一。
●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程
Ⅰ课题导入
如图1．11，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。
A
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？
C
B
Ⅱ讲授新课
探索研究
图1．11
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．12，
在
RtABC
中，设
BCaACbABc
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有
ac

si

A
，
bc
si
B
，又
si
C

1

cc

A
则
asi

A
bsi
B
csi
C
c
b
c
从而在直角三角形
ABC
中，
asi

A
bsi
B
csi
C
C
a
B
图1．12
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．13，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有
CDasi
B

b
si
A
则
asi

A
bsi
B
，
C
同理可得
csi
C
bsi
B
，
b
a
从而
asi
A

bsi
B
csi
C
A
c
B
图1．13
f思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作jAC，
C
由向量的加法可得ABACCB
则
jABjACCB
A
B
∴jABjACjCB
j
jABcos900A0jCBcos900C
∴
csi

Aasi
C
，即
asi

A

csi
C
同理，过点C作jBC，可得
bsi

B

csi
C
从而
a
b
c
si
Asi
Bsi
C
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的r