数列求和的基本方法和技巧
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
1、
等差数列求和公式：S


a12
a


a1


12
d
2、等比数列求和公式：S



a1a11
q



1q

a1a
q1q
q1q1
3、
S


k1
k

1
2
1
4、S


k1
k2

1
6
12

1
5、
S



k3
k1
1
122
例1
已知log3
x

1，求xx2x3x
log23
的前
项和
解：由
log3
x

1log23

log3
x

log3
2

x

12
由等比数列求和公式得
S
xx2x3x

＝
x11
x
x

＝
12
11
1
2
1

＝1－
12

2
（利用常用公式）
例2
设S
＝123…
，
∈N求
f

S
32S
1
的最大值
解：由等差数列求和公式得
S


1
1，2
1
S


1
22
∴
f





S
32S
1
＝

2


34


64
＝
1
＝
1
1

3464
825050



（利用常用公式）
1
f∴当


88
，即

＝8
时，
f

max

150
二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前
项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列a
b
的前
项和，其中a
、b
分别是等差数列和等比数列
例3求和：S
13x5x27x32
1x
1………………………①
解：由题可知，2
1x
1的通项是等差数列2
－1的通项与等比数列x
1的通项之积
设xS
1x3x25x37x42
1x
………………………②①－②得1xS
12x2x22x32x42x
12
1x

（设制错位）（错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：1
xS

1
2x1x
11x
2

1x

∴
S


2

1x
1
2
1x
1x2

1
x
例4
求数列
24222
623
2
前2


项的和
解：由题可知，
2
2

的通项是等差数列2
的通项与等比数列
12

的通项之积
设S


22

422

623

2
2

…………………………………①
12S


222

423

624

2
2
1
………………………………②
（设制错位）
①－②得1
12S


22

222

223

224

22


2
2
1
（错位相减）
12
2
2
12
1
∴
S


4

22
1
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前
项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原
数列相加，就可以得到
个a1a

例5
求证r