专题检测（二十一）第21题解答题“函数、导数与不等式”专练
1．已知函数fx＝－x3＋x2，x1，al
x，x≥1
1求fx在区间－∞，1上的极小值和极大值点；
2求fx在－1，ee为自然对数的底数上的最大值．
解：1当x1时，f′x＝－3x2＋2x＝－x3x－2，
令f′x＝0，解得x＝0或x＝23
当x变化时，f′x，fx的变化情况如下表：
x
－∞，0
0
0，23
23
23，1
f′x
－
0
＋
0
－
fx
极小值
极大值
故当x＝0时，函数fx取得极小值为f0＝0，函数fx的极大值点为x＝23
2①当－1≤x＜1时，由1知，函数fx在－10和23，1上单调递减，在0，23上
单调递增．
因为f－1＝2，f23＝247，f0＝0，
所以fx在－11上的最大值为2
②当1≤x≤e时，fx＝al
x，
当a≤0时，fx≤0；
当a0时，fx在1，e上单调递增，
则fx在1，e上的最大值为fe＝a
故当a≥2时，fx在－1，e上的最大值为a；
当a2时，fx在－1，e上的最大值为2
2．2017山西四校联考已知函数fx＝1x－al
xa∈R．
1若hx＝fx－2x，当a＝－3时，求hx的单调递减区间；
2若函数fx有唯一的零点，求实数a的取值范围．
解：1由题意，hx＝1x＋3l
x－2xx0，
h′x＝－x12＋3x－2＝－2x2－x32x＋1
f2x－1x－1
＝－
x2
，
由h′x＜0，得0＜x＜12或x＞1，
故hx的单调递减区间是0，12和1，＋∞．2问题等价于al
x＝1x有唯一的实根，
显然a≠0，则关于x的方程xl
x＝1a有唯一的实根，
构造函数φx＝xl
x，则φ′x＝1＋l
x，由φ′x＝1＋l
x＝0，得x＝e－1，当0＜x＜e－1时，φ′x＜0，φx单调递减，当x＞e－1时，φ′x＞0，φx单调递增，∴φx的极小值为φe－1＝－e－1
作出函数φx的大致图象如图所示，则要使方程xl
x＝1a有
唯一的实根，只需直线y＝1a与曲线y＝φx有唯一的交点，
则1a＝－e－1或1a＞0，
解得a＝－e或a＞0，
故实数a的取值范围是－e∪0，＋∞．3．2017沈阳质检已知函数fx＝ex－1－x－ax2
1当a＝0时，证明：fx≥0；
2当x≥0时，若不等式fx≥0恒成立，求实数a的取值范围；3若x0，证明：ex－1l
x＋1x2解：1证明：当a＝0时，fx＝ex－1－x，f′x＝ex－1
当x∈－∞，0时，f′x0；
当x∈0，＋∞时，f′x0
故fx在－∞，0上单调递减，在0，＋∞上单调递增，
fxmi
＝f0＝0，∴fx≥02f′x＝ex－2ax－1，令hx＝ex－2ax－1，则h′x＝ex－2a
①当2a≤1，即a≤12时，在0，＋∞上，h′x≥0，hx单调递增，hx≥h0，
即f′x≥f′0＝0，
f∴fx在0，＋∞上为增r